Zadanie 6 – matura z matematyki maj 2024, poziom rozszerzony

\(11\) \(040\). Bez zera: C(\(5\),\(3\))·C(\(4\),\(2\))·\(5\)!=\(7200\). Z zerem: wybór drugiej cyfry parzystej, trzech nieparzystych i ustawienie z wyłączeniem zera na początku daje \(3840\). Razem \(11\) \(040\).

Liczba spełniająca warunki ma dokładnie \(5\) cyfr, wszystkie różne: trzy nieparzyste i dwie parzyste. Cyfr nieparzystych jest \(5\), a parzystych \(5\) (razem z zerem). Zbiór użytych cyfr wybieramy więc na \[\binom53\cdot\binom52=10\cdot10=100\] sposobów, a każdy taki pięcioelementowy zbiór można ustawić w ciąg na \(5!=120\) sposobów. Daje to \[100\cdot120=12\,000\] ustawień — ale wśród nich są zapisy zaczynające się zerem, które nie są liczbami pięciocyfrowymi. Zliczamy je osobno. Jeśli pierwsza cyfra to \(0\), to zero jest jedną z dwóch cyfr parzystych, więc drugą wybieramy spośród pozostałych czterech cyfr parzystych na \(\binom41=4\) sposoby, trzy cyfry nieparzyste na \(\binom53=10\) sposobów, a cztery pozostałe pozycje wypełniamy na \(4!=24\) sposoby: \[10\cdot4\cdot24=960.\] Zatem szukanych liczb jest \[12\,000-960=11\,040.\] **Odpowiedź.** \(11\,040\)

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(11\,040\). **2 pkt** – zapisanie \(L_1\): \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\cdot5!\) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\) ALBO – zapisanie \(L_2\): \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\cdot4!\) oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\), ALBO – zapisanie \(P\): \(4\cdot\binom{4}{1}\cdot\binom{5}{3}\cdot4!\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba ciągów postaci \((n,p,n,p,n)\) jest równa \(5\cdot5\cdot4\cdot4\cdot3\), ALBO – zapisanie \(N\): \(5\cdot\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot4!\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,p,n)\) jest równa \(4\cdot5\cdot4\cdot4\cdot3\), ALBO – zapisanie \(Z^{+}\): \(4\cdot4\cdot4\cdot5\cdot4\cdot3\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba ciągów postaci \((n,n,n,p,p)\), gdzie \(p\in\{2,4,6,8\}\), jest równa \(5\cdot4\cdot3\cdot4\cdot3\), ALBO – zapisanie \(Z^{-}\): \(10\cdot4\cdot3\cdot5\cdot4\cdot3\) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,n,0)\), gdzie \(p\in\{2,4,6,8\}\), jest równa \(4\cdot5\cdot4\cdot3\cdot1\). **1 pkt** – zapisanie \(L_1\) (lub \(L_2\)), np. \(L_1=\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\cdot5!\), \(L_2=\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\cdot4!\) ALBO – zapisanie \(P\) (lub \(N\)), np. \(P=4\cdot\binom{4}{1}\cdot\binom{5}{3}\cdot4!\), \(N=5\cdot\binom{5}{2}\cdot\binom{4}{2}\cdot4!\), ALBO – zapisanie \(Z^{+}\) (lub \(Z^{-}\)), np. \(Z^{+}=4\cdot4\cdot4\cdot5\cdot4\cdot3=3\,840\), \(Z^{-}=10\cdot4\cdot3\cdot5\cdot4\cdot3=7\,200\), ALBO – zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{5}{2}\) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: \(\binom{5}{3}\cdot\binom{4}{1}\), ALBO – zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci \((n,p,n,p,n)\) jest równa \(5\cdot5\cdot4\cdot4\cdot3\)) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba ciągów postaci \((p,n,n,p,n)\) jest równa \(4\cdot5\cdot4\cdot4\cdot3\)). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga: Jeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje 0 punktów.

**Wymagania egzaminacyjne 2024** **Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XI.R1) Zdający oblicza liczbę możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających rozważenia złożonego modelu zliczania elementów.