Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 1, maj 2023, poziom rozszerzony
W chwili początkowej \(t=0\) masa pewnej substancji promieniotwórczej była równa \(4\) gramy. Po każdej kolejnej dobie masa tej substancji zmniejszała się o \(19\%\) w stosunku do masy z końca poprzedniej doby. Dla każdej całkowitej wartości \(t\geq0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (licząc od chwili początkowej).
**Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\) i oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1{,}5\) grama. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[m(t)=4\cdot0{,}81^t\quad\text{dla}\quad t\in\mathbb Z_{\geq0}.\]
Masa po raz pierwszy będzie mniejsza od \(1{,}5\) grama po **\(5\) dobach**.
Rozwiązanie krok po kroku
Po każdej dobie pozostaje \(100\%-19\%=81\%\) masy z poprzedniej doby. Wartości \(m(0),m(1),m(2),\ldots\) tworzą więc ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(4\) i ilorazie \(0{,}81\). Zatem
\[m(t)=4\cdot0{,}81^t.\]
Ciąg jest malejący. Sprawdzamy kolejne całkowite wartości:
\[m(4)=4\cdot0{,}81^4\approx1{,}72>1{,}5,\]
\[m(5)=4\cdot0{,}81^5\approx1{,}39<1{,}5.\]
Masa po raz pierwszy spada poniżej \(1{,}5\) grama po \(5\) pełnych dobach.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zapisanie \(m(t)=4\cdot0{,}81^t\) oraz obliczenie, że masa będzie mniejsza od \(1{,}5\) grama po \(5\) dobach
**1 pkt** – zapisanie poprawnego wzoru funkcji \(m\) albo obliczenie liczby dób
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.13) Zdający posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
