Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 4, maj 2023, poziom rozszerzony
Liczby rzeczywiste \(x\) i \(y\) spełniają warunki
\[x+y=4\]
oraz
\[x^3-x^2y\leq xy^2-y^3.\]
**Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).**
Odpowiedź
\[x=2,\qquad y=2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy wszystkie wyrazy nierówności na lewą stronę:
\[x^3-x^2y-xy^2+y^3\leq0.\]
Grupujemy wyrazy:
\[(x-y)(x^2-y^2)\leq0.\]
Ponieważ \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\), otrzymujemy
\[(x+y)(x-y)^2\leq0.\]
Z założenia \(x+y=4\), więc
\[4(x-y)^2\leq0.\]
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nierówność może zachodzić tylko wtedy, gdy
\[(x-y)^2=0,\]
czyli \(x=y\). W połączeniu z \(x+y=4\) daje to
\[x=2,\qquad y=2.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełne rozumowanie prowadzące do \(x=2\), \(y=2\)
**2 pkt** – zapisanie \(4(x-y)^2\leq0\), albo postaci \((x-y)^2(x+y)\leq0\) z poprawnym określeniem znaku czynnika, albo równoważnego pełnego etapu
**1 pkt** – wykorzystanie \(x+y=4\) i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą, albo przekształcenie do \((x-y)(x^2-y^2)\leq0\), albo do \(xy\geq4\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
II.R3) Zdający korzysta ze wzorów na \((a+b)^3\), \((a-b)^3\), \(a^3+b^3\) i \(a^3-b^3\).
