Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 2, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Wśród \(n\) osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te \(n\) osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest \(12\) razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych \(n\) osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności).
**Oblicz \(n\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[n=9.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wszystkie \(n\) osób można ustawić w kolejce na \(n!\) sposobów. Anię i jej dwóch znajomych traktujemy jako jeden blok. Wówczas ustawiamy \(n-2\) obiektów na \((n-2)!\) sposobów, a trzy osoby wewnątrz bloku na \(3!\) sposobów.
Z warunku zadania:
\[n!=12\cdot(n-2)!\cdot3!.\]
Po podzieleniu przez \((n-2)!\):
\[n(n-1)=12\cdot6=72,\]
\[n^2-n-72=0,\]
\[(n-9)(n+8)=0.\]
Ponieważ \(n\) jest dodatnią liczbą całkowitą, otrzymujemy
\[n=9.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik \(n=9\)
**2 pkt** – zapisanie równania wynikającego z warunków zadania, np. \(n!=12\cdot(n-2)!\cdot3!\)
**1 pkt** – zapisanie \(n!\) jako liczby wszystkich ustawień, albo wskazanie liczby położeń bloku trzech osób, albo potraktowanie Ani i znajomych jako jednego obiektu i zapisanie \((n-2)!\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XI.R1) Zdający oblicza liczbę możliwych sytuacji spełniających określone kryteria z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania oraz wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji, również w przypadkach wymagających złożonego modelu zliczania.
