Nierówności
Zadanie 3, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Oblicz najmniejszą liczbę naturalną \(n\) spełniającą nierówność
\[\left|\frac{2n-10}{3n+1}-\frac23\right|<\frac1{30}.\]
Odpowiedź
\[n=107.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dla liczby naturalnej \(n\) mamy \(3n+1>0\). Upraszczamy wyrażenie pod wartością bezwzględną:
\[\left|\frac{2n-10}{3n+1}-\frac23\right|=\left|\frac{3(2n-10)-2(3n+1)}{3(3n+1)}\right|=\frac{32}{3(3n+1)}.\]
Nierówność jest więc równoważna kolejno
\[\frac{32}{3(3n+1)}<\frac1{30},\qquad 3n+1>320,\qquad n>106\frac13.\]
Najmniejszą liczbą naturalną spełniającą warunek jest \(107\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(n=107\) z uzasadnieniem
**1 pkt** – poprawne uproszczenie lewej strony do \(\frac{32}{3(3n+1)}\) albo otrzymanie warunku \(3n+1>320\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
2.6. R. Zdający dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych przykładach) skraca wyrażenia wymierne.
3.8. R. Zdający rozwiązuje proste nierówności wymierne.
