Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Niech \(m=\log_{21}7\). Wykaż, że
\[\log_7 27=\frac{3(1-m)}{m}.\]
Odpowiedź
\[\log_7 27=\frac{3(1-m)}m.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ze wzoru na zmianę podstawy mamy
\[\log_7 21=\frac1{\log_{21}7}=\frac1m.\]
Ponieważ \(27=3^3\) oraz \(3=\frac{21}{7}\), otrzymujemy
\[\log_7 27=3\log_7 3=3\log_7\frac{21}{7}=3(\log_7 21-\log_7 7)=3\left(\frac1m-1\right)=\frac{3(1-m)}m.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełne wykazanie podanej równości
**2 pkt** – poprawne użycie \(\log_7 21=\frac1m\) i własności logarytmów, z drobnym błędem końcowym
**1 pkt** – poprawne zapisanie \(\log_7 21=\frac1m\) lub \(\log_7 27=3\log_7 3\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
1.6. Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym.
1.2. R. Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
