Zadanie 5 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

\[x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty).\]

**Krok \(1\).** Metoda: zamiast rozpatrywać przypadki, korzystamy z własności \(|uv|=|u|\cdot|v|\) i wzoru na różnicę kwadratów, żeby wyłączyć wspólny czynnik. **Krok \(2\).** Przekształcamy oba składniki: \[|2x-6|=2|x-3|,\qquad \left|x^{2}-9\right|=|x-3|\cdot|x+3|.\] **Krok \(3\).** Nierówność przyjmuje postać \[2|x-3|-|x-3|\cdot|x+3|\lt 0,\qquad |x-3|\bigl(2-|x+3|\bigr)\lt 0.\] **Krok \(4\).** Czynnik \(|x-3|\) jest nieujemny, więc iloczyn może być ujemny tylko wtedy, gdy jednocześnie \(|x-3|\gt 0\) oraz \(2-|x+3|\lt 0\). **Krok \(5\).** Pierwszy warunek daje \(x\neq 3\). Drugi to \(|x+3|\gt 2\), czyli \[x+3\lt -2\quad\text{lub}\quad x+3\gt 2,\qquad x\lt -5\quad\text{lub}\quad x\gt -1.\] **Krok \(6\).** Łączymy oba warunki, wykluczając \(x=3\) ze zbioru \(x\gt -1\). **Uwaga.** Punkt \(x=3\) jest tu prawdziwą pułapką: obie wartości bezwzględne zerują się w nim jednocześnie, więc lewa strona jest równa \(0\), a nierówność jest ostra i nie jest spełniona. Metoda przez trzy przedziały \((-\infty,-3)\), \([-3,3)\), \([3,+\infty)\) prowadzi do tego samego wyniku, ale wymaga trzykrotnego brania części wspólnej. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty)\).

**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty)\). **3 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,3)\) i \([3,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych przedziałów – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności z rozpatrywanymi przedziałami ALBO – rozwiązanie nierówności \(2-\lvert x+3\rvert<0\), ALBO – zapisanie koniunkcji nierówności \(2-\lvert x+3\rvert<0\) i \(x\neq 3\), ALBO – przekształcenie nierówności do postaci \((x-3)^{2}(x+1)(x+5)>0\), ALBO – wyznaczenie wszystkich pierwiastków wielomianu \(x^{4}-22x^{2}+24x+45\) i określenie krotności tych pierwiastków, ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(2x-6<\lvert x^{2}-9\rvert\) i \(2x-6>-\lvert x^{2}-9\rvert\), a następnie w postaci równoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: \(\left(x^{2}-9>2x-6\right.\) lub \(\left.x^{2}-9<-2x+6\right)\) i \(\left(x^{2}-9>-2x+6\right.\) lub \(\left.x^{2}-9<2x-6\right)\), ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej alternatywy dwóch nierówności: \(x^{2}-9>\lvert 2x-6\rvert\) lub \(x^{2}-9<-\lvert 2x-6\rvert\), a następnie w postaci równoważnej alternatywy koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: \(\left(2x-6<x^{2}-9\right.\) i \(\left.2x-6<-x^{2}+9\right)\) lub \(\left(2x-6<-x^{2}+9\right.\) i \(\left.2x-6>x^{2}-9\right)\), ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech następujących przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO – zapisanie, że przypadek \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9<0\) jest sprzeczny oraz zapisanie trzech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności, ALBO – odczytanie z wykresów funkcji \(f(x)=\lvert 2x-6\rvert\) oraz \(g(x)=\lvert x^{2}-9\rvert\) pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: \(x=-5\) oraz \(x=-1\) oraz \(x=3\) i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych. **2 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,3)\) i \([3,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów ALBO – zapisanie nierówności \(\lvert x-3\rvert\cdot\left(2-\lvert x+3\rvert\right)<0\), ALBO – zapisanie jednej z nierówności: \[1<\frac{\lvert x+3\rvert}{2}\ \text{(bez zapisania założenia } x\neq 3),\] \[1<\frac{\lvert x^{2}-9\rvert}{2\cdot\lvert x-3\rvert}\ \text{z zapisaniem założenia } x\neq 3,\] \[1<\frac{\lvert x-3\rvert\cdot\lvert x+3\rvert}{\lvert 2x-6\rvert}\ \text{z zapisaniem założenia } x\neq 3,\] \[1<\left\lvert\frac{(x-3)(x+3)}{2x-6}\right\rvert\ \text{z zapisaniem założenia } x\neq 3,\] \[(x-3)^{2}\cdot\left[4-(x+3)^{2}\right]<0,\] ALBO – przekształcenie nierówności do postaci \(x^{4}-22x^{2}+24x+45>0\) i wyznaczenie dwóch pierwiastków wielomianu \(x^{4}-22x^{2}+24x+45\) (lub zapisanie, że \(3\) jest dwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu), ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: \(2x-6<\lvert x^{2}-9\rvert\) i \(2x-6>-\lvert x^{2}-9\rvert\), ALBO – zapisanie nierówności w postaci równoważnej alternatywy dwóch nierówności: \(x^{2}-9>\lvert 2x-6\rvert\) lub \(x^{2}-9<-\lvert 2x-6\rvert\), ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków, ALBO – zapisanie trzech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz zapisanie, że przypadek \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9<0\) jest sprzeczny, ALBO – narysowanie wykresów funkcji \(f(x)=\lvert 2x-6\rvert\) oraz \(g(x)=\lvert x^{2}-9\rvert\). **1 pkt** – zapisanie trzech przedziałów: \((-\infty,-3)\) i \([-3,3)\) i \([3,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnej ALBO – zapisanie jednego z przedziałów: \((-\infty,-3)\), \([-3,3)\), \([3,+\infty)\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale – tj. wyznaczenie części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym przedziałem, ALBO – zastosowanie własności wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności: \(2\cdot\lvert x-3\rvert-\lvert (x-3)(x+3)\rvert<0\), ALBO – zastosowanie własności wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności w jednej z następujących postaci: \[1<\frac{\lvert x^{2}-9\rvert}{2\cdot\lvert x-3\rvert}\ \text{(bez zapisania założenia } x\neq 3),\] \[1<\frac{\lvert x-3\rvert\cdot\lvert x+3\rvert}{\lvert 2x-6\rvert}\ \text{(bez zapisania założenia } x\neq 3),\] \[1<\left\lvert\frac{(x-3)(x+3)}{2x-6}\right\rvert\ \text{(bez zapisania założenia } x\neq 3),\] \[(2x-6)^{2}<\left(x^{2}-9\right)^{2},\] ALBO – zapisanie czterech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości bezwzględnej, ALBO – zapisanie jednego z trzech przypadków: \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9<0\), \(2x-6<0\) i \(x^{2}-9\geq 0\), \(2x-6\geq 0\) i \(x^{2}-9\geq 0\) (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku – tj. wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd, który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania. 2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których nierówność ma różne postacie (lub rozpatruje przypadki wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru \(\mathbb{R}\)), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań \((-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty)\), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji \(f(x)=\lvert 2x-6\rvert\) i \(g(x)=\lvert x^{2}-9\rvert\), to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 4. Jeżeli zdający, podając zbiór rozwiązań nierówności, nie uwzględni warunku \(x\neq 3\), to może uzyskać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.R4) Zdający rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną.