Równania i nierówności
Zadanie 6, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
**Rozwiąż równanie**
\[|4x-8|+|x-2|=|2-x|+|x+2|+4.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x\in\left\{\frac25,\frac{14}{3}\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(|4x-8|=4|x-2|\) oraz \(|2-x|=|x-2|\), dane równanie jest równoważne równaniu
\[4|x-2|=|x+2|+4.\]
Rozważamy trzy przedziały wyznaczone przez punkty \(-2\) i \(2\).
Dla \(x<-2\):
\[-4x+8=-x-2+4,\]
skąd \(x=2\), ale \(2\notin(-\infty,-2)\), więc w tym przedziale nie ma rozwiązań.
Dla \(-2\leq x<2\):
\[-4x+8=x+2+4,\]
\[-5x=-2,\qquad x=\frac25.\]
Liczba \(\frac25\) należy do tego przedziału.
Dla \(x\geq2\):
\[4x-8=x+2+4,\]
\[3x=14,\qquad x=\frac{14}{3}.\]
Liczba \(\frac{14}{3}\) należy do tego przedziału.
Zatem
\[x\in\left\{\frac25,\frac{14}{3}\right\}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac25\) oraz \(\frac{14}{3}\)
**3 pkt** – rozwiązanie równania w dwóch spośród rozważanych przedziałów lub przypadków, które łącznie wyczerpują \(\mathbb R\); równoważnie: rozwiązanie jednego z dwóch równań otrzymanych po usunięciu zewnętrznej wartości bezwzględnej w sposobie alternatywnym
**2 pkt** – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej i zapisanie równania w trzech przedziałach \(( -\infty,-2)\), \([-2,2)\), \([2,+\infty)\); albo zapisanie równoważnej alternatywy dwóch równań
**1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(4|x-2|=|x+2|+4\) albo \(|4x-8|=|x+2|+4\); albo poprawne rozpoczęcie analizy w jednym z właściwych przedziałów
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.R4) Zdający rozwiązuje równania z wartością bezwzględną.
