Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 5, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
W pewnej lokalnej społeczności \(35\%\) osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada \(70\%\) osób mających wyższe wykształcenie i \(40\%\) osób bez wyższego wykształcenia.
Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.
**Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P(B_1\mid A)\approx0{,}49.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy:
- \(A\) - wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim,
- \(B_1\) - wybrana osoba ma wyższe wykształcenie,
- \(B_2\) - wybrana osoba nie ma wyższego wykształcenia.
Z treści zadania:
\[P(B_1)=0{,}35,\qquad P(B_2)=0{,}65,\]
\[P(A\mid B_1)=0{,}7,\qquad P(A\mid B_2)=0{,}4.\]
Z twierdzenia Bayesa i twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:
\[P(B_1\mid A)=\frac{P(B_1)P(A\mid B_1)}{P(A\mid B_1)P(B_1)+P(A\mid B_2)P(B_2)}.\]
Podstawiamy dane:
\[P(B_1\mid A)=\frac{0{,}35\cdot0{,}7}{0{,}7\cdot0{,}35+0{,}4\cdot0{,}65}=\frac{0{,}245}{0{,}505}=0{,}(4851)\ldots\]
Po zaokrągleniu do części setnych otrzymujemy
\[P(B_1\mid A)\approx0{,}49.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(0{,}49\)
**2 pkt** – zastosowanie twierdzenia Bayesa i zapisanie \(P(B_1\mid A)=\frac{0{,}35\cdot0{,}7}{0{,}7\cdot0{,}35+0{,}4\cdot0{,}65}\)
**1 pkt** – zapisanie prawdopodobieństw \(P(B_1)=0{,}35\), \(P(A\mid B_1)=0{,}7\), \(P(B_2)=0{,}65\) oraz \(P(A\mid B_2)=0{,}4\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 2. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.R1) Zdający stosuje wzór Bayesa oraz twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.
