Równania i nierówności
Zadanie 7, próbna grudzień 2024, poziom rozszerzony
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są: okrąg o równaniu
\[(x+1)^2+(y-3)^2=50\]
i punkty
\[A=(6,4)\qquad\text{oraz}\qquad B=(-6,8).\]
Punkt \(C\) leży na tym okręgu i \(|AC|=|BC|\).
**Oblicz współrzędne punktu \(C\). Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[C=(\sqrt5-1,\ 3\sqrt5+3)\quad\text{lub}\quad C=(-\sqrt5-1,\ -3\sqrt5+3).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku \(|AC|=|BC|\) wynika, że punkt \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\).
Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) wynosi
\[a_{AB}=\frac{8-4}{-6-6}=-\frac13,\]
więc symetralna ma współczynnik kierunkowy \(3\). Środek odcinka \(AB\) ma współrzędne
\[M=\left(\frac{6+(-6)}2,\frac{4+8}2\right)=(0,6).\]
Równanie symetralnej jest zatem równe
\[y=3x+6.\]
Punkty \(C\) są punktami przecięcia tej prostej z okręgiem:
\[(x+1)^2+(3x+6-3)^2=50,\]
\[(x+1)^2+9(x+1)^2=50,\]
\[10(x+1)^2=50,\qquad (x+1)^2=5.\]
Stąd
\[x=\sqrt5-1\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt5-1.\]
Dla \(x=\sqrt5-1\):
\[y=3(\sqrt5-1)+6=3\sqrt5+3.\]
Dla \(x=-\sqrt5-1\):
\[y=3(-\sqrt5-1)+6=-3\sqrt5+3.\]
Ostatecznie
\[C=(\sqrt5-1,3\sqrt5+3)\quad\text{lub}\quad C=(-\sqrt5-1,-3\sqrt5+3).\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i podanie obu punktów: \(C=(\sqrt5-1,3\sqrt5+3)\) lub \(C=(-\sqrt5-1,-3\sqrt5+3)\)
**3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, na przykład \((x+1)^2+(3x+6-3)^2=50\)
**2 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\): \(y=3x+6\)
**1 pkt** – obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\): \(-\frac13\); albo zapisanie równania odległości \(\sqrt{(x-6)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x+6)^2+(y-8)^2}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.R1) Zdający znajduje punkty wspólne prostej i okręgu. IX.R4) Zdający wyznacza równanie prostej prostopadłej do zadanej prostej.
