Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 2, maj 2026, poziom rozszerzony
Ze zbioru ośmiu liczb \(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez \(3\). Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac{1}{28}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy bez zwracania wszystkie osiem liczb i zapisujemy je w kolejności losowania, więc zdarzeniami elementarnymi są permutacje zbioru \(\{1,2,\ldots,8\}\). Wszystkie są jednakowo prawdopodobne, zatem
\[|\Omega|=8!=40\,320.\]
W tym zbiorze wielokrotnościami trójki są tylko \(3\) i \(6\). Iloczyn trzech kolejnych wyrazów dzieli się przez \(3\) dokładnie wtedy, gdy wśród nich jest \(3\) albo \(6\). Warunek ma zachodzić dla każdej z sześciu trójek kolejnych wyrazów \((a_1,a_2,a_3),\ldots,(a_6,a_7,a_8)\).
Oznaczmy przez \(i<j\) pozycje liczb \(3\) i \(6\). Trójka \((a_k,a_{k+1},a_{k+2})\) nie zawiera żadnej z nich dokładnie wtedy, gdy w przedziale pozycji \(\{k,k+1,k+2\}\) nie ma ani \(i\), ani \(j\). Aby uniknąć takiej trójki, między kolejnymi „punktami podparcia" nie mogą powstać trzy sąsiednie wolne pozycje. Warunek jest więc równoważny trzem nierównościom:
\[i\leq3,\qquad j-i\leq3,\qquad 9-j\leq3.\]
Ostatnia z nich oznacza \(j\geq6\).
Wypisujemy pary \((i,j)\) spełniające \(i\leq3\), \(j\geq6\) i \(j-i\leq3\):
\[(3,6).\]
Dla \(i=3\) i \(j=6\) mamy \(j-i=3\), co jest dopuszczalne; każda inna para narusza którąś z nierówności — dla \(i\leq2\) byłoby \(j-i\geq4\).
Pozycje liczb \(3\) i \(6\) są więc ustalone jako trzecia i szósta, a same te liczby można na nich rozmieścić na \(2!\) sposobów. Pozostałe sześć liczb ustawiamy na pozostałych sześciu miejscach na \(6!\) sposobów. Zatem
\[|A|=2!\cdot6!=2\cdot720=1440.\]
Stąd
\[P(A)=\frac{1440}{40\,320}=\frac1{28}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac1{28}\)
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\frac{1}{28}\).
**2 pkt** – wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\), np. \(\lvert\Omega\rvert=8!\) oraz \(\lvert A\rvert=2\cdot 6!\).
**1 pkt** – wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych, np. \(\lvert\Omega\rvert=8!\)
ALBO
– zapisanie, że trzecim i szóstym wyrazem ciągu, który jest zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu \(A\), musi być liczba podzielna przez \(3\),
ALBO
– wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\), np. \(\lvert A\rvert=2\cdot 6!\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający zapisze, że trzecim i szóstym wyrazem ciągu, który jest zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu \(A\), musi być liczba podzielna przez \(3\), ale – obliczając liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu \(A\) – zapisze \(\lvert A\rvert=6!\) (lub \(\lvert A\rvert=2\cdot 2\cdot 6!\)) oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać \(2\) punkty.
2. Jeżeli zdający zapisze \(\lvert\Omega\rvert=\binom{8}{2}\) (lub \(\lvert\Omega\rvert=8\cdot 7\)) bez stosownego komentarza i na tym zakończy, to otrzymuje \(0\) punktów.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XII.1) Zdający oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
