Ciąg arytmetyczny
Zadanie 6, maj 2026, poziom rozszerzony
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od \(6\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(1\), a ostatni wyraz tego ciągu jest równy \(-2025\). Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą, w podanej kolejności, ciąg geometryczny.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \((a_{n})\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(-1\,026\,168\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu, a przez \(n\) liczbę jego wyrazów.
Wyrazy drugi, trzeci i szósty to \(1+r\), \(1+2r\) oraz \(1+5r\). Tworzą one ciąg geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[(1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r),\qquad 1+4r+4r^{2}=1+6r+5r^{2},\qquad r^{2}+2r=0.\]
Stąd \(r=0\) albo \(r=-2\). Dla \(r=0\) wszystkie wyrazy byłyby równe \(1\), a ostatni ma być równy \(-2025\); ten przypadek odpada. Zostaje \(r=-2\).
Liczbę wyrazów wyznaczamy z warunku na wyraz ostatni:
\[a_n=1+(n-1)\cdot(-2)=-2025,\qquad (n-1)\cdot(-2)=-2026,\qquad n=1014.\]
Wartość \(n=1014>6\) spełnia warunek z treści zadania.
Sumę obliczamy ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\):
\[S_{1014}=\frac{(1-2025)\cdot1014}{2}=\frac{-2024\cdot1014}{2}=-1012\cdot1014=-1\,026\,168.\]
**Odpowiedź.** \(S=-1\,026\,168\)
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((-1\,026\,168)\).
**3 pkt** – obliczenie liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \(n=1014\).
**2 pkt** – rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(r\): \(r=0\) oraz \(r=-2\)
ALBO
– obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego \((a_n)\) spełniającej warunki zadania: \(r=-2\),
ALBO
– rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(q\): \(q=1\) oraz \(q=3\),
ALBO
– obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego \((a_2,a_3,a_6)\) spełniającego warunki zadania: \(q=3\),
ALBO
– obliczenie/zapisanie, że ciąg \((a_2,a_3,a_6)\) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\): \(a_2=-1\),
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą \(n\), np.
\[\left(1+2\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)^{2}=\left(1+\frac{-2026}{n-1}\right)\left(1+5\cdot\frac{-2026}{n-1}\right)\]
**1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((1+2r)^{2}=(1+r)(1+5r)\)
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\), np. \(3q-3=q^{2}-q\),
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą \(a_2\), np. \(a_2=1+2a_2\) (dla sposobu III),
ALBO
– wyznaczenie różnicy ciągu \((a_n)\) w zależności od liczby \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\): \(r=\frac{-2026}{n-1}\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość \(n\), która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać \(2\) punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.
4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że \(r=-2\) i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość \(r\) spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie \(n\) oraz za obliczenie sumy).
b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że \(r=-2\) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje \(0\) punktów.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.7) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.
