Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 8, maj 2025, poziom rozszerzony
Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.
Odpowiedź
Niech \(B\) oznacza zdarzenie otrzymania dokładnie dwóch piątek, a \(A\) - co najmniej jednej szóstki. Mamy \(\lvert B\rvert=\binom{4}{2}\cdot5^{2}=150\). Po ustaleniu miejsc dwóch piątek w dwóch pozostałych rzutach co najmniej jedna szóstka występuje w \(5+5-1=9\) parach, więc \(\lvert A\cap B\rvert=\binom{4}{2}\cdot9=54\). Zatem \(P(A\mid B)=\frac{54}{150}=\frac{9}{25}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane czwórki wyników czterech rzutów, czyli czterowyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru \(\{1,2,\ldots,6\}\). Kostka jest symetryczna, więc wszystkie są jednakowo prawdopodobne.
Niech \(A\) oznacza otrzymanie co najmniej raz sześciu oczek, a \(B\) — otrzymanie dokładnie dwa razy pięciu oczek. Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego
\[P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|},\]
przy czym \(P(B)>0\).
**Moc zdarzenia \(B\).** Dwie pozycje dla piątek wybieramy na \(\binom42=6\) sposobów, a na każdej z dwóch pozostałych pozycji wpisujemy wynik różny od \(5\), czyli jeden z \(5\). Stąd
\[|B|=\binom42\cdot5\cdot5=6\cdot25=150.\]
**Moc zdarzenia \(A\cap B\).** Warunek \(B\) ustala dwie piątki; pytamy, czy wśród dwóch pozostałych rzutów pojawi się szóstka. Każdy z tych rzutów daje wynik ze zbioru \(\{1,2,3,4,6\}\), więc liczymy przez dopełnienie: brak szóstki oznacza wynik ze zbioru czteroelementowego. Zatem
\[|A\cap B|=6\cdot\left(5^2-4^2\right)=6\cdot(25-16)=6\cdot9=54.\]
Stąd
\[P(A\mid B)=\frac{54}{150}=\frac9{25}.\]
Ten sam rachunek można zapisać krócej: przy warunku \(B\) dwa wolne rzuty mają wyniki jednostajne na zbiorze pięcioelementowym, więc
\[P(A\mid B)=1-\left(\frac45\right)^2=1-\frac{16}{25}=\frac9{25}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A\mid B)=\frac9{25}\)
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(\tfrac{9}{25}\) (lub \(\tfrac{54}{150}\)).
**2 pkt** – wyznaczenie mocy zdarzeń \(B\) oraz \(A\cap B\), np. \(\lvert B\rvert=\binom{4}{2}\cdot5\cdot5\) oraz \(\lvert A\cap B\rvert=\binom{4}{2}\cdot\binom{2}{1}\cdot4+\binom{4}{2}\).
**1 pkt** – wyznaczenie mocy zdarzenia \(B\), np. \(\lvert B\rvert=\binom{4}{2}\cdot5\cdot5\),
ALBO
– wyznaczenie mocy zdarzenia \(A\cap B\), np. \(\lvert A\cap B\rvert=\binom{4}{2}\cdot\binom{2}{1}\cdot4+\binom{4}{2}\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga.
Jeżeli zdający, obliczając \(\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (lub \(\frac{\lvert A\cap B\rvert}{\lvert B\rvert}\)), pominie w liczniku i mianowniku czynnik \(\binom{4}{2}\) bez stosownego komentarza, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
10.2R) Zdający oblicza prawdopodobieństwo warunkowe.
