Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 8, maj 2023, poziom rozszerzony
Czworokąt \(ABCD\), w którym \(|BC|=4\) i \(|CD|=5\), jest opisany na okręgu. Przekątna \(AC\) tego czworokąta tworzy z bokiem \(BC\) kąt o mierze \(60^\circ\), natomiast z bokiem \(AB\) - kąt ostry, którego sinus jest równy \(\frac14\).
**Oblicz obwód czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[Ob_{ABCD}=16\sqrt3+10.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=|\angle BAC|\). Z warunków zadania
\[\sin\alpha=\frac14,\qquad |\angle ACB|=60^\circ.\]
Stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie \(ABC\):
\[\frac{|AB|}{\sin60^\circ}=\frac{|BC|}{\sin\alpha}.\]
Zatem
\[\frac{|AB|}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac4{\frac14}=16,\]
\[|AB|=8\sqrt3.\]
Czworokąt \(ABCD\) jest opisany na okręgu, więc sumy długości przeciwległych boków są równe:
\[|AB|+|CD|=|BC|+|AD|.\]
Stąd obwód można zapisać jako
\[Ob_{ABCD}=2(|AB|+|CD|).\]
Ostatecznie
\[Ob_{ABCD}=2(8\sqrt3+5)=16\sqrt3+10.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i wynik \(16\sqrt3+10\)
**3 pkt** – obliczenie \(|AB|=8\sqrt3\) i zapisanie \(Ob_{ABCD}=2(|AB|+|CD|)\) albo równoważnej zależności
**2 pkt** – obliczenie \(|AB|=8\sqrt3\) albo zapisanie dwóch kluczowych równości wskazanych przez CKE
**1 pkt** – zapisanie poprawnej zależności z twierdzenia sinusów, pola albo własności czworokąta opisanego na okręgu
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.R1) Zdający stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
