Zadanie 8 – matura z matematyki maj 2023, poziom rozszerzony

\(\displaystyle \frac{2}{7}\). Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym: \(\displaystyle \frac{10}{21}\cdot\frac25+\frac{10}{21}\cdot\frac15+\frac1{21}\cdot0=\frac27\).

Niech \(B_k\) oznacza zdarzenie „w pierwszym losowaniu wyjęto \(k\) kul czarnych", \(k=0,1,2\), a \(A\) — „w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną". Pierwsze losowanie to wybór dwóch kul spośród siedmiu bez zwracania, a kolejność nie ma znaczenia, więc \[|\Omega_1|=\binom72=21.\] Kul białych jest \(5\), czarnych \(2\), zatem \[P(B_0)=\frac{\binom52}{21}=\frac{10}{21},\quad P(B_1)=\frac{\binom51\binom21}{21}=\frac{10}{21},\quad P(B_2)=\frac{\binom22}{21}=\frac1{21}.\] Zdarzenia \(B_0\), \(B_1\), \(B_2\) są parami rozłączne i wyczerpują możliwości, więc tworzą układ zupełny. Po pierwszym losowaniu w pojemniku zostaje \(5\) kul. Liczba kul czarnych zależy od \(k\): \[P(A\mid B_0)=\frac25,\qquad P(A\mid B_1)=\frac15,\qquad P(A\mid B_2)=\frac05=0.\] Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym \[P(A)=\frac{10}{21}\cdot\frac25+\frac{10}{21}\cdot\frac15+\frac1{21}\cdot0=\frac{4}{21}+\frac{2}{21}=\frac6{21}=\frac27.\] Wynik zgadza się z intuicją: przed jakimkolwiek losowaniem udział kul czarnych wynosi \(\frac27\), a losowanie „w ciemno" tego udziału nie zmienia. **Odpowiedź.** \(P(A)=\frac27\)

**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa i poprawny wynik: \(\frac{2}{7}\). **2 pkt** – zapisanie/obliczenie prawdopodobieństwa zdarzeń \(B_{1}\), \(B_{2}\), \(B_{3}\) oraz prawdopodobieństw warunkowych \(P(A|B_{1})\), \(P(A|B_{2})\), \(P(A|B_{3})\): \(P(B_{1})=\frac{\binom{5}{2}}{\binom{7}{2}}\) i \(P(B_{2})=\frac{\binom{5}{1}\cdot\binom{2}{1}}{\binom{7}{2}}\), i \(P(B_{3})=\frac{\binom{2}{2}}{\binom{7}{2}}\), i \(P(A|B_{1})=\frac{2}{5}\), i \(P(A|B_{2})=\frac{1}{5}\), i \(P(A|B_{3})=0\) ALBO – zapisanie prawdopodobieństw na wszystkich odcinkach istotnych gałęzi drzewa, ALBO – zapisanie/obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\), przy zastosowaniu klasycznej definicji prawdopodobieństwa: \(\lvert\Omega\rvert=7\cdot 6\cdot 5\) oraz \(\lvert A\rvert=5\cdot 4\cdot 2+5\cdot 2\cdot 1+2\cdot 5\cdot 1\) (lub \(\lvert A\rvert=\lvert A_{1}\rvert+\lvert A_{2}\rvert+\lvert A_{3}\rvert=60\)). **1 pkt** – opisanie zdarzeń losowych \(B_{1}\), \(B_{2}\), \(B_{3}\) i obliczenie ich prawdopodobieństw: \(P(B_{1})=\frac{\binom{5}{2}}{\binom{7}{2}}\), \(P(B_{2})=\frac{\binom{5}{1}\cdot\binom{2}{1}}{\binom{7}{2}}\), \(P(B_{3})=\frac{\binom{2}{2}}{\binom{7}{2}}\) ALBO – narysowanie drzewa stochastycznego doświadczenia i zapisanie prawdopodobieństw na gałęziach drzewa I etapu doświadczenia (dla drzewa dwuetapowego) lub I i II etapu (dla drzewa trzyetapowego), ALBO – obliczenie prawdopodobieństw wylosowania kuli czarnej na ostatnim etapie oraz właściwe zinterpretowanie wcześniejszych etapów doświadczenia: \(\frac{2}{5}\), \(\frac{1}{5}\), ALBO – zapisanie/obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych lub liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\), przy zastosowaniu klasycznej definicji prawdopodobieństwa: \(\lvert\Omega\rvert=7\cdot 6\cdot 5\) lub \(\lvert A\rvert=5\cdot 4\cdot 2+5\cdot 2\cdot 1+2\cdot 5\cdot 1\) (lub \(\lvert A\rvert=\lvert A_{1}\rvert+\lvert A_{2}\rvert+\lvert A_{3}\rvert=60\)). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający, stosując twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, pominie składnik \(P(B_{3})\cdot P(A|B_{3})\), to może otrzymać \(3\) punkty za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli zdający zapisze jedynie \(P(A)=\frac{2}{7}\), to otrzymuje \(1\) punkt. 3. Jeżeli zdający zapisze \(P(A)=\frac{2}{7}\) i zapisze poprawny komentarz uzasadniający otrzymany wynik, to otrzymuje \(3\) punkty.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R10.3) Zdający korzysta z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.