Liczby rzeczywiste
Zadanie 2, maj 2008, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność
\[|x-2|+|3x-6|<|x|.\]
Odpowiedź
\(x\in\left(\frac{8}{5},\frac{8}{3}\right)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Nierówność \(|x-2|+|3x-6|\lt|x|\) wygląda na trzy niezależne wartości bezwzględne, ale pierwsze dwie są ze sobą związane. Zauważmy, że \(3x-6=3(x-2)\), więc
\[|3x-6|=|3|\cdot|x-2|=3|x-2|.\]
**Krok \(2\).** Lewa strona redukuje się do jednego wyrażenia:
\[|x-2|+3|x-2|=4|x-2|,\]
więc nierówność przyjmuje prostą postać
\[4|x-2|\lt |x|.\]
**Krok \(3\).** Obie strony są nieujemne (wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna), a dla liczb nieujemnych nierówność zachowuje się przy podnoszeniu do kwadratu. Możemy więc obie strony podnieść do kwadratu i pozbyć się modułów, bo \(|a|^2=a^2\):
\[16(x-2)^2\lt x^2.\]
**Krok \(4\).** Przenosimy wszystko na lewą stronę i rozkładamy różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), gdzie \(a=4(x-2)\), \(b=x\):
\[\bigl(4(x-2)\bigr)^2-x^2\lt 0,\]
\[\bigl(4x-8-x\bigr)\bigl(4x-8+x\bigr)\lt 0,\]
\[(3x-8)(5x-8)\lt 0.\]
**Krok \(5\).** Mamy iloczyn dwóch wyrażeń liniowych. Jego miejsca zerowe to
\[3x-8=0\Rightarrow x=\frac{8}{3},\qquad 5x-8=0\Rightarrow x=\frac{8}{5}.\]
Po wymnożeniu współczynnik przy \(x^2\) byłby równy \(15\gt 0\), więc wykres to parabola ramionami do góry, a wartości ujemne przyjmuje ona między pierwiastkami.
**Krok \(6\).** Ponieważ \(\frac{8}{5}=1{,}6\) oraz \(\frac{8}{3}\approx 2{,}67\), rozwiązaniem jest
\[x\in\left(\frac{8}{5},\frac{8}{3}\right).\]
**Krok \(7\).** Sprawdzenie na liczbie z wnętrza przedziału, na przykład \(x=2\): lewa strona \(|2-2|+|6-6|=0\), prawa \(|2|=2\), a \(0\lt 2\). Zgadza się.
**Uwaga.** Podnoszenie nierówności do kwadratu jest tu dozwolone tylko dlatego, że obie strony są nieujemne. Gdyby po jednej stronie mogła stać liczba ujemna, trzeba by rozważyć przypadki \(x\lt 0\), \(0\le x\lt 2\) i \(x\ge 2\). Nierówność jest ostra, więc końce przedziału do rozwiązania nie należą.
**Odpowiedź.** \(x\in\left(\frac{8}{5},\frac{8}{3}\right)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
\(\lvert 3x-6\rvert=3\cdot\lvert x-2\rvert\), więc nierówność przyjmuje postać: \(4\lvert x-2\rvert<\lvert x\rvert\).
Rozwiązanie nierówności:
\[\begin{cases}-4(x-2)<-x & \text{gdy}\ x\in(-\infty,0)\\ -4(x-2)<x & \text{gdy}\ x\in\langle 0,2)\\ 4(x-2)<x & \text{gdy}\ x\in\langle 2,\infty)\end{cases}\]
\[\begin{cases}x>\frac{8}{3} & \text{gdy}\ x\in(-\infty,0)\\ x>\frac{8}{5} & \text{gdy}\ x\in\langle 0,2)\\ x<\frac{8}{3} & \text{gdy}\ x\in\langle 2,\infty)\end{cases}\]
W przedziale \((-\infty,0)\) nierówność nie ma rozwiązania.
Rozwiązaniem nierówności w przedziale \(\langle 0,2)\) są liczby rzeczywiste należące do przedziału \(\left(\frac{8}{5},2\right)\), natomiast rozwiązaniem nierówności w przedziale \(\langle 2,\infty)\) są liczby rzeczywiste należące do przedziału \(\left\langle 2,\frac{8}{3}\right)\).
Rozwiązaniem nierówności \(\lvert x-2\rvert+\lvert 3x-6\rvert<\lvert x\rvert\) jest więc przedział \(\left(\frac{8}{5},\frac{8}{3}\right)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
