Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 1, maj 2008, poziom rozszerzony
Wielomian \(f\), którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku, spełnia warunek \(f(0)=90\). Wielomian \(g\) dany jest wzorem
\[g(x)=x^3-14x^2+63x-90.\]
Wykaż, że \(g(x)=-f(-x)\) dla \(x\in\mathbb{R}\).
Odpowiedź
Z wykresu \(f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)=x^3+14x^2+63x+90\), skąd \(-f(-x)=x^3-14x^2+63x-90=g(x)\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że wykres wielomianu \(f\) przecina oś \(Ox\) w punktach o odciętych \(-6\), \(-5\) i \(-3\), przy każdym z nich zmieniając znak. Wielomian stopnia trzeciego o takich miejscach zerowych ma postać iloczynową
\[f(x)=a(x+6)(x+5)(x+3).\]
Współczynnik \(a\) wyznaczamy z podanego warunku \(f(0)=90\):
\[a\cdot(0+6)(0+5)(0+3)=90,\qquad 90a=90,\qquad a=1.\]
Zatem
\[f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)=x^3+14x^2+63x+90.\]
Obliczamy teraz \(f(-x)\), a następnie \(-f(-x)\):
\[f(-x)=(-x)^3+14(-x)^2+63(-x)+90=-x^3+14x^2-63x+90,\]
\[-f(-x)=-\left(-x^3+14x^2-63x+90\right)=x^3-14x^2+63x-90.\]
Otrzymane wyrażenie jest dokładnie wzorem wielomianu \(g\). Przekształcenia były wykonane dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\), zatem
\[g(x)=-f(-x)\quad\text{dla każdego }x\in\mathbb{R},\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** Równość \(g(x)=-f(-x)\) zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Z rysunku odczytuję miejsca zerowe funkcji \(f\) i zapisuję jej wzór w postaci iloczynowej \(f(x)=a(x+6)(x+5)(x+3)\).
Funkcja spełnia warunek \(f(0)=90\), czyli \(a(0+6)(0+5)(0+3)=90\).
Obliczam współczynnik \(a\): \(a=1\) i zapisuję wzór funkcji \(f\): \(f(x)=(x+6)(x+5)(x+3)\).
Wzór funkcji \(f\) zapisuję w postaci: \(f(x)=x^{3}+14x^{2}+63x+90\).
\[-f(-x)=-\left[(-x)^{3}+14(-x)^{2}+63(-x)+90\right]=\]
\[=-\left[-x^{3}+14x^{2}-63x+90\right]=\]
\[=x^{3}-14x^{2}+63x-90=g(x)\]
Zatem \(-f(-x)=g(x)\) dla \(x\in R\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
