Zadanie 3 – matura z matematyki maj 2008, poziom rozszerzony

\(p=3\) i \(q=-1\) albo \(p=-1\) i \(q=3\).

**Krok \(1\).** Dane są oba pierwiastki równania kwadratowego, a szukamy liczb ukrytych w jego współczynnikach. W takiej sytuacji naturalnym narzędziem są wzory Viete'a: znając \(x_1\) i \(x_2\), znamy sumę i iloczyn pierwiastków, a te wyrażają się przez współczynniki równania. Porównanie da nam układ dwóch równań z niewiadomymi \(p\) i \(q\). **Krok \(2\).** Liczymy sumę pierwiastków — składniki z pierwiastkiem kwadratowym się redukują: \[x_1+x_2=\left(5+\sqrt{23}\right)+\left(5-\sqrt{23}\right)=10.\] **Krok \(3\).** Liczymy iloczyn, korzystając ze wzoru \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\): \[x_1x_2=\left(5+\sqrt{23}\right)\left(5-\sqrt{23}\right)=25-23=2.\] **Krok \(4\).** W równaniu \(x^2-\left(p^2+q^2\right)x+(p+q)=0\) mamy \(a=1\), \(b=-\left(p^2+q^2\right)\) oraz \(c=p+q\). Wzory Viete'a dają \[x_1+x_2=-\frac ba=p^2+q^2,\qquad x_1x_2=\frac ca=p+q.\] Porównując z krokami \(2\) i \(3\), otrzymujemy układ \[\begin{cases}p^2+q^2=10\\ p+q=2.\end{cases}\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy układ metodą podstawiania: z drugiego równania \(q=2-p\), więc \[p^2+(2-p)^2=10,\qquad p^2+4-4p+p^2=10,\qquad 2p^2-4p-6=0,\qquad p^2-2p-3=0.\] **Krok \(6\).** Liczymy wyróżnik: \(\Delta=4+12=16\), \(\sqrt{\Delta}=4\), więc \[p_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad p_2=\frac{2+4}{2}=3.\] **Krok \(7\).** Wyznaczamy odpowiadające im wartości \(q=2-p\): dla \(p=3\) mamy \(q=-1\), a dla \(p=-1\) mamy \(q=3\). **Krok \(8\).** Sprawdzenie: \(3^2+(-1)^2=9+1=10\) oraz \(3+(-1)=2\). Zgadza się (druga para daje te same liczby). **Uwaga.** Wartości \(p\) i \(q\) są ze sobą powiązane, więc trzeba podać całe pary, a nie same rozwiązania równania kwadratowego. Nie wolno też mieszać par, np. brać \(p=3\) razem z \(q=3\) — taka para nie spełnia warunku \(p+q=2\). **Odpowiedź.** \(p=3\) i \(q=-1\) albo \(p=-1\) i \(q=3\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Zapisuję równanie kwadratowe w postaci iloczynowej: \(\left(x-5-\sqrt{23}\right)\cdot\left(x-5+\sqrt{23}\right)=0\) przekształcam je do postaci ogólnej \[(x-5)^{2}-23=0\] \[x^{2}-10x+2=0\] Porównuję odpowiednie współczynniki obu postaci równania i stwierdzam, że muszą być spełnione równocześnie dwa warunki: \(p^{2}+q^{2}=10\) i \(p+q=2\). Rozwiązuję układ równań \(\begin{cases}p^{2}+q^{2}=10\\ p+q=2\end{cases}\) Dokonuję podstawienia: \(q=2-p\) i otrzymuję równanie kwadratowe z jedną niewiadomą: \(p^{2}-2p-3=0\). Rozwiązaniem tego równania kwadratowego są liczby: \(p_{1}=3\) lub \(p_{2}=-1\). Obliczam wartości \(q\) w zależności od \(p\): dla \(p_{1}=3\), \(q_{1}=-1\), natomiast dla \(p_{2}=-1\), \(q_{2}=3\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.