Wartość bezwzględna
Zadanie 9, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność
\[\left|x^2-3x+2\right|\geq|x-1|.\]
Odpowiedź
\[x\in(-\infty,1]\cup[3,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rozkładamy trójmian:
\[|x^2-3x+2|=|(x-1)(x-2)|=|x-1|\,|x-2|.\]
Nierówność ma więc postać
\[|x-1|\bigl(|x-2|-1\bigr)\geq0.\]
Dla \(x=1\) jest spełniona. Dla \(x\neq1\) czynnik \(|x-1|\) jest dodatni, więc wystarczy rozwiązać
\[|x-2|\geq1.\]
Stąd \(x\leq1\) lub \(x\geq3\), czyli \(x\in(-\infty,1]\cup[3,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne podanie zbioru rozwiązań \(( -\infty,1]\cup[3,+\infty)\)
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności w rozpatrywanych przedziałach lub doprowadzenie do \(|x-2|\geq1\) z uwzględnieniem przypadku \(x=1\), bez poprawnego zapisu końcowego
**2 pkt** – zapisanie nierówności \(|x-1|(|x-2|-1)\geq0\) albo poprawnych nierówności na wszystkich właściwych przedziałach
**1 pkt** – poprawny rozkład \(|x^2-3x+2|=|x-1|\,|x-2|\) i istotne rozpoczęcie analizy znaków
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** nierówności z wartością bezwzględną - rozkład wielomianu, analiza znaku i zapis zbioru rozwiązań.
