Ciągi
Zadanie 10, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Ciąg \((a_{n})\) jest określony dla \(n \geq 1, a_{4}=4\) oraz \(a_{n+1}=a_{n}+n-4\). Oblicz pierwszy wyraz i ustal, czy ciąg jest malejący.
Odpowiedź
\(a_{1}\)=\(10\), a ciąg nie jest malejący. Cofając rekurencję od \(a_{4}\)=\(4\) otrzymujemy \(a_{3}\)=\(5\), \(a_{2}\)=\(7\) i \(a_{1}\)=\(10\). Ponadto \(a_{5}\)=\(a_{4}\), bo \(a_{5}\)−\(a_{4}\)=\(4\)−\(4=0\), więc warunek ścisłej malejącości nie jest spełniony.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Ciąg jest zadany rekurencyjnie wzorem \(a_{n+1}=a_n+n-4\), czyli wzór pozwala iść w przód: z wyrazu \(n\)-tego robi \((n+1)\)-szy. My znamy \(a_4\), a szukamy \(a_1\), więc musimy iść wstecz — przekształcamy wzór do postaci \(a_n=a_{n+1}-n+4\). Druga część zadania dotyczy monotoniczności, a o niej decyduje znak różnicy \(a_{n+1}-a_n\).
**Krok \(2\).** Dla \(n=3\) wzór daje \(a_4=a_3+3-4=a_3-1\). Ponieważ \(a_4=4\), mamy
\[a_3=a_4+1=5.\]
**Krok \(3\).** Dla \(n=2\): \(a_3=a_2+2-4=a_2-2\), więc
\[a_2=a_3+2=7.\]
**Krok \(4\).** Dla \(n=1\): \(a_2=a_1+1-4=a_1-3\), więc
\[a_1=a_2+3=10.\]
**Krok \(5\).** Przechodzimy do monotoniczności. Ciąg jest malejący, gdy dla każdego \(n\) zachodzi \(a_{n+1}\lt a_n\), czyli gdy \(a_{n+1}-a_n\lt0\). Z definicji ciągu
\[a_{n+1}-a_n=n-4.\]
**Krok \(6\).** Różnica \(n-4\) jest ujemna tylko dla \(n\lt4\), czyli maleją jedynie pierwsze cztery wyrazy. Dla \(n=4\) różnica wynosi \(0\), zatem
\[a_5=a_4+4-4=a_4=4.\]
**Krok \(7\).** Skoro \(a_5=a_4\), to warunek \(a_5\lt a_4\) nie jest spełniony, więc ciąg nie jest malejący (dla \(n\gt4\) różnica jest wręcz dodatnia, czyli dalsze wyrazy rosną).
**Uwaga.** To, że kilka pierwszych wyrazów maleje (\(10,7,5,4\)), nie oznacza, że ciąg jest malejący — definicja wymaga nierówności dla każdego \(n\). Wystarczy wskazać jedno miejsce, gdzie warunek zawodzi.
**Odpowiedź.** \(a_1=10\); ciąg nie jest malejący, bo \(a_5=a_4=4\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy zdający obliczy trzeci wyraz ciągu: \(a_3=5\) albo uzasadni, że ciąg nie jest malejący.
**2 pkt** – gdy obliczy pierwszy wyraz ciągu: \(a_1=10\).
**3 pkt** – gdy obliczy pierwszy wyraz ciągu \(a_1=10\) oraz uzasadni, że ciąg nie jest malejący.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: obliczanie wyrazów ciągu określonego rekurencyjnie i badanie monotoniczności na podstawie różnicy kolejnych wyrazów.
