Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Wykaż, że dla \(a,b,c,d>0\) prawdziwa jest nierówność
\[\sqrt{a+b}\cdot\sqrt{c+d}\geq\sqrt{ac}+\sqrt{bd}.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b,c,d>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść je do kwadratu. Otrzymujemy kolejno
\[(a+b)(c+d)\geq ac+bd+2\sqrt{abcd},\]
\[ad+bc\geq2\sqrt{abcd}.\]
Ostatnia nierówność jest równoważna
\[\left(\sqrt{ad}-\sqrt{bc}\right)^2\geq0,\]
a więc jest prawdziwa. To kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – pełny dowód
**3 pkt** – sprowadzenie nierówności do postaci \(ad+bc\geq2\sqrt{abcd}\)
**2 pkt** – zapisanie \((a+b)(c+d)\geq ac+bd+2\sqrt{abcd}\)
**1 pkt** – zauważenie, że obie strony są dodatnie i nierówność można obustronnie podnieść do kwadratu
**0 pkt** – brak koniecznego postępu; w szczególności błędne pominięcie składnika \(2\sqrt{abcd}\) przy podnoszeniu prawej strony do kwadratu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
przekształcanie nierówności, wzory skróconego mnożenia i nieujemność kwadratu.
