Zadanie 2 – matura z matematyki czerwiec 2010, poziom podstawowy

B. Zbiorem rozwiązań jest \((-\infty,-1]\cup[5,+\infty)\).

**Krok \(1\).** W nierówności niewiadoma siedzi pod wartością bezwzględną. Najwygodniej czytać ją geometrycznie: \(|x-2|\) to odległość liczby \(x\) od liczby \(2\) na osi liczbowej. Warunek \(|x-2|\geqslant3\) znaczy więc: liczba \(x\) jest oddalona od \(2\) o co najmniej \(3\) jednostki. **Krok \(2\).** Odmierzamy od punktu \(2\) po \(3\) jednostki w obie strony: \[2-3=-1,\qquad 2+3=5.\] Liczby \(-1\) i \(5\) są dokładnie w odległości \(3\) od \(2\). **Krok \(3\).** Liczby leżące pomiędzy \(-1\) a \(5\) są od \(2\) oddalone o mniej niż \(3\), więc nierówności nie spełniają. Spełniają ją liczby leżące na zewnątrz, a także same końce \(-1\) i \(5\), bo nierówność jest nieostra. **Krok \(4\).** Ten sam wynik rachunkiem, przez rozbicie na dwa przypadki: \[|x-2|\geqslant3\iff x-2\geqslant3\ \ \text{lub}\ \ x-2\leqslant-3,\] czyli \(x\geqslant5\) lub \(x\leqslant-1\). **Krok \(5\).** Zbiór rozwiązań to suma dwóch półprostych: \[x\in(-\infty,-1]\cup[5,+\infty).\] **Krok \(6\).** Szukamy więc rysunku, na którym zaznaczono dwie półproste: jedną biegnącą w lewo od \(-1\), drugą w prawo od \(5\), z zamalowanymi (należącymi do zbioru) końcami w \(-1\) i \(5\). Tak wygląda rysunek **B**. **Uwaga.** Znak \(\geqslant\) jest nieostry, więc końce należą do zbioru — kółka na rysunku muszą być zamalowane. Częsty błąd to pomylenie tego zbioru z rozwiązaniem nierówności \(|x-2|\leqslant3\), czyli z odcinkiem \([-1,5]\) — to zbiór dokładnie odwrotny. **Odpowiedź.** B — zbiorem rozwiązań jest \((-\infty,-1]\cup[5,+\infty)\).

1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – interpretuje rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną na osi liczbowej.