Równania kwadratowe
Zadanie 18, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dane jest równanie
\[\frac{2}{2x+1}=\frac{x-1}{x+2}.\]
Wyznacz dziedzinę tego równania. Rozwiąż równanie.
Odpowiedź
Dziedzina: \(x\neq-\frac12\) oraz \(x\neq-2\). Rozwiązania: \(x=-1\) lub \(x=\frac52\).
Rozwiązanie krok po kroku
Mianowniki muszą być różne od zera, zatem
\[x\neq-\frac12,\qquad x\neq-2.\]
Mnożymy równanie stronami przez \((2x+1)(x+2)\):
\[2(x+2)=(2x+1)(x-1).\]
Po uporządkowaniu otrzymujemy
\[2x^2-3x-5=0.\]
Wyróżnik wynosi \(\Delta=49\), więc
\[x_1=\frac{3-7}{4}=-1,\qquad x_2=\frac{3+7}{4}=\frac52.\]
Obie liczby należą do dziedziny.
Klucz i zasady oceniania
**Część I: 1 pkt** – dziedzina \(x\neq-\frac12\), \(x\neq-2\)
**Część II: 2 pkt** – poprawna metoda i oba rozwiązania: \(-1\), \(\frac52\)
**Część II: 1 pkt** – otrzymanie równania \(2(x+2)=(2x+1)(x-1)\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania w danej części
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
III.1) Zdający przekształca równania w sposób równoważny.
III.4) Rozwiązuje równania kwadratowe.
