Liczby rzeczywiste
Zadanie 9, maj 2026, poziom podstawowy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Rozwiązaniem równania \(\frac{(x + 2)}{(3x - 1)} = \frac{2}{5}\) jest
A. \(x = \frac{1}{3}\)
B. \(x = \frac{8}{11}\)
C. \(x = 3\)
D. \(x = 12\)
Podpowiedź
Najpierw zapisz założenie dla mianownika, a następnie pomnóż równanie na krzyż.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Po usunięciu mianowników otrzymujemy równanie liniowe.
Rozwiązanie
Mianownik wymaga \(x\neq\frac{1}{3}\). Mnożymy na krzyż: \[5(x+2)=2(3x-1).\] Zatem \(5x+10=6x-2\), więc \(x=12\). Wartość ta spełnia założenie. Poprawna jest odpowiedź D.
Sprawdzenie
Po podstawieniu \(x=12\) lewa strona jest równa \(\frac{14}{35}=\frac{2}{5}\).
Odpowiedź
**D.** \(x=12\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To równanie wymierne: niewiadoma stoi w mianowniku. Zaczynamy więc od dziedziny, a potem korzystamy z tego, że równość dwóch ułamków pozwala mnożyć na krzyż.
**Krok \(2\).** Dziedzina: mianownik nie może być zerem, więc
\[3x-1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\frac13.\]
Od razu widać, że wariant \(x=\frac13\) jest niemożliwy.
**Krok \(3\).** Mnożymy na krzyż:
\[5(x+2)=2(3x-1).\]
**Krok \(4\).** Wykonujemy mnożenia:
\[5x+10=6x-2.\]
**Krok \(5\).** Przenosimy niewiadome na jedną stronę, liczby na drugą:
\[10+2=6x-5x\quad\Longrightarrow\quad x=12.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy, że wynik należy do dziedziny (\(12\neq\frac13\)) i spełnia równanie:
\[\frac{12+2}{3\cdot12-1}=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}.\]
**Uwaga.** W równaniu wymiernym sprawdzenie dziedziny nie jest formalnością - gdyby otrzymany wynik wypadł równy \(\frac13\), trzeba by go odrzucić i stwierdzić, że równanie nie ma rozwiązań.
**Odpowiedź.** D, czyli \(x=12\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.1) Zdający przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie \(\frac{5}{x+1}=\frac{x+3}{2x-1}\).
