Nierówności
Zadanie 3, maj 2026, poziom rozszerzony
Najmniejszą liczbą naturalną \(n\) spełniającą nierówność
\[\left\lvert\frac{2n-5}{3n+2}-\frac{2}{3}\right\rvert<\frac{1}{20}\]
jest
**A.** \(41\)
**B.** \(42\)
**C.** \(82\)
**D.** \(84\)
Odpowiedź
**B.** \(42\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zanim zaczniemy szacować, upraszczamy wyrażenie pod wartością bezwzględną: różnicę dwóch ułamków sprowadzamy do wspólnego mianownika. Po redukcji licznik okaże się stałą, dzięki czemu nierówność stanie się bardzo prosta.
**Krok \(2\).** Wspólny mianownik to \(3(3n+2)\):
\[\frac{2n-5}{3n+2}-\frac23=\frac{3(2n-5)-2(3n+2)}{3(3n+2)}=\frac{6n-15-6n-4}{3(3n+2)}=\frac{-19}{3(3n+2)}.\]
**Krok \(3\).** Dla \(n\) naturalnego mianownik \(3(3n+2)=9n+6\) jest dodatni, więc wartość bezwzględna zdejmuje tylko minus z licznika:
\[\left\lvert\frac{-19}{9n+6}\right\rvert=\frac{19}{9n+6}.\]
**Krok \(4\).** Nierówność przyjmuje postać
\[\frac{19}{9n+6}\lt\frac1{20}.\]
Obie strony są dodatnie, więc możemy pomnożyć na krzyż bez zmiany zwrotu:
\[19\cdot20\lt 9n+6,\qquad 380\lt 9n+6.\]
**Krok \(5\).** Stąd \(9n\gt374\), czyli
\[n\gt\frac{374}{9}=41\tfrac59\approx41{,}56.\]
**Krok \(6\).** Najmniejszą liczbą naturalną większą od \(41{,}56\) jest \(42\).
**Krok \(7\).** Sprawdzenie: dla \(n=41\) mamy \(9\cdot41+6=375\lt380\), więc nierówność nie zachodzi; dla \(n=42\) mamy \(9\cdot42+6=384\gt380\), więc zachodzi.
**Uwaga.** Pytanie dotyczy najmniejszego \(n\), więc nie wystarczy wskazać jakiekolwiek \(n\) spełniające nierówność — odpowiedzi \(82\) i \(84\) też ją spełniają, ale nie są najmniejsze.
**Odpowiedź.** **B.** \(42\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
1
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
3.8R) Zdający rozwiązuje proste nierówności wymierne […].
