Potęgi i pierwiastki
Zadanie 8, sierpień 2025, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8},\]
gdzie \(x\neq\frac73\) oraz \(x\neq8\). Wskaż wszystkie rozwiązania należące do przedziału \((\frac54,+\infty)\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Po uwzględnieniu założeń mnożymy równanie przez \((3x-7)(x-8)\):
\[3(x-8)=5x(3x-7)\iff15x^2-38x+24=0.\]
Pierwiastki to \(\frac65\) i \(\frac43\). Do przedziału \((\frac54,+\infty)\) należy tylko \(x=\frac43\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: sprowadzenie do równania kwadratowego, np. \(3\)(x − \(8\)) = \(5x\)(\(3x\) − \(7\)).
**Krok \(2\).** pkt: obliczenie obu rozwiązań \(\frac{6}{5}\) i \(\frac{4}{3}\).
**Krok \(3\).** pkt: wskazanie x = \(\frac{4}{3}\) jako jedynego rozwiązania w zadanym przedziale.
**Odpowiedź.** Po uwzględnieniu założeń mnożymy równanie przez \((3x-7)(x-8)\):
\[3(x-8)=5x(3x-7)\iff15x^2-38x+24=0.\]
Pierwiastki to \(\frac65\) i \(\frac43\). Do przedziału \((\frac54,+\infty)\) należy tylko \(x=\frac43\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: sprowadzenie do równania kwadratowego, np. 3(x − 8) = 5x(3x − 7).
2 pkt: obliczenie obu rozwiązań 6/5 i 4/3.
3 pkt: wskazanie x = 4/3 jako jedynego rozwiązania w zadanym przedziale.
Wymagania podstawy programowej
Uwaga:
Jeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania \(\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8}\) do postaci równania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.
