Potęgi i pierwiastki
Zadanie 27, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x},\qquad x\neq0\quad\text{i}\quad x\neq1.\]
Odpowiedź
Po pomnożeniu obu stron równania przez \(3x(x-1)\) otrzymujemy \(3x(3x+4)=(x-1)(x+3)\), czyli \(8x^{2}+10x+3=0\). Pierwiastkami są \(x=-\frac{3}{4}\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\); oba spełniają warunki \(x\neq0\) i \(x\neq1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: poprawne sprowadzenie równania do równania kwadratowego, np. (\(3x\) + \(4\))·\(3x\) = (x − \(1\))(x + \(3\)).
**Krok \(2\).** pkt: poprawna metoda i oba rozwiązania: −\(\frac{3}{4}\) i −\(\frac{1}{2}\).
**Odpowiedź.** Po pomnożeniu obu stron równania przez \(3x(x-1)\) otrzymujemy \(3x(3x+4)=(x-1)(x+3)\), czyli \(8x^{2}+10x+3=0\). Pierwiastkami są \(x=-\frac{3}{4}\) oraz \(x=-\frac{1}{2}\); oba spełniają warunki \(x\neq0\) i \(x\neq1\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne sprowadzenie równania do równania kwadratowego, np. (3x + 4)·3x = (x − 1)(x + 3).
2 pkt: poprawna metoda i oba rozwiązania: −3/4 i −1/2.
Wymagania podstawy programowej
Uwaga:
Jeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania \(\frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}\) do postaci równania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.
