Równania i nierówności
Zadanie 28, sierpień 2025, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8},\]
gdzie \(x\neq\frac73\) oraz \(x\neq8\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
Dla \(x\neq\frac73\) i \(x\neq8\) mnożymy równanie stronami przez \((3x-7)(x-8)\):
\[3(x-8)=5x(3x-7),\]
\[15x^2-38x+24=0.\]
Ponieważ \(\Delta=4\), otrzymujemy \(x_1=\frac65\) oraz \(x_2=\frac43\). Oba rozwiązania spełniają założenia.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: przekształcenie równania do równania kwadratowego, np. \(3\)(x − \(8\)) = \(5x\)(\(3x\) − \(7\)).
**Krok \(2\).** pkt: poprawna metoda i oba rozwiązania: x = \(\frac{6}{5}\) oraz x = \(\frac{4}{3}\).
**Odpowiedź.** Dla \(x\neq\frac73\) i \(x\neq8\) mnożymy równanie stronami przez \((3x-7)(x-8)\):
\[3(x-8)=5x(3x-7),\]
\[15x^2-38x+24=0.\]
Ponieważ \(\Delta=4\), otrzymujemy \(x_1=\frac65\) oraz \(x_2=\frac43\). Oba rozwiązania spełniają założenia.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: przekształcenie równania do równania kwadratowego, np. 3(x − 8) = 5x(3x − 7).
2 pkt: poprawna metoda i oba rozwiązania: x = 6/5 oraz x = 4/3.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe: 3.8) Rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych.
