Nierówności
Zadanie 51, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Rozwiąż równanie
\[\frac{2-3x}{1-2x}=-\frac12.\]
Odpowiedź
\(x=\frac{5}{8}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ równania: niewiadoma stoi w mianowniku, więc jest to równanie wymierne. Zanim cokolwiek przekształcimy, wypisujemy **założenie**, przy którym ułamek w ogóle ma sens — mianownik nie może być zerem.
**Krok \(2\).** Założenie:
\[1-2x\neq0\ \Longrightarrow\ 2x\neq1\ \Longrightarrow\ x\neq\frac12.\]
**Krok \(3\).** Mamy równość dwóch ułamków, więc mnożymy na krzyż:
\[\frac{2-3x}{1-2x}=-\frac12\ \Longrightarrow\ 2\cdot(2-3x)=-1\cdot(1-2x).\]
**Krok \(4\).** Wymnażamy obie strony:
\[4-6x=-1+2x.\]
Po prawej stronie pamiętamy o zmianie znaku obu składników przy mnożeniu przez \(-1\).
**Krok \(5\).** Przenosimy niewiadome na jedną stronę, a liczby na drugą:
\[4+1=2x+6x\ \Longrightarrow\ 5=8x.\]
**Krok \(6\).** Wyznaczamy \(x\):
\[x=\frac58.\]
**Krok \(7\).** Sprawdzamy założenie: \(\frac58\neq\frac12\), bo \(\frac12=\frac48\). Rozwiązanie jest więc dopuszczalne.
**Krok \(8\).** Sprawdzenie rachunkowe: dla \(x=\frac58\) licznik wynosi \(2-3\cdot\frac58=2-\frac{15}{8}=\frac18\), a mianownik \(1-2\cdot\frac58=1-\frac{10}{8}=-\frac28\). Iloraz:
\[\frac{\frac18}{-\frac28}=-\frac12,\]
czyli zgadza się z prawą stroną równania.
**Uwaga.** Pominięcie założenia \(x\neq\frac12\) bywa karane, mimo że akurat tutaj wyliczona liczba je spełnia. W równaniach wymiernych zawsze trzeba na końcu sprawdzić, czy otrzymana wartość nie zeruje mianownika.
**Odpowiedź.** \(x=\frac58\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(x=\frac{5}{8}\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.
