Zadanie 7 – matura z matematyki sierpień 2025, poziom podstawowy

**A.** \[3-x\geq\frac{5x-1}{2}\iff6-2x\geq5x-1\iff x\leq1.\] Zbiorem rozwiązań jest \(( -\infty,1]\).

**Krok \(1\).** To nierówność liniowa z ułamkiem. Zaczynamy od pozbycia się mianownika: mnożymy obie strony przez \(2\). Mnożymy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności pozostaje bez zmian. **Krok \(2\).** Mnożymy stronami przez \(2\), obejmując lewą stronę nawiasem: \[2(3-x)\geq5x-1,\qquad\text{czyli}\qquad 6-2x\geq5x-1.\] **Krok \(3\).** Przenosimy wyrazy z \(x\) na prawą stronę, a liczby na lewą: \[6+1\geq5x+2x.\] **Krok \(4\).** Redukujemy: \[7\geq7x.\] **Krok \(5\).** Dzielimy obie strony przez \(7\) — dodatnie, więc znak zostaje: \[1\geq x,\qquad\text{czyli}\qquad x\leq1.\] **Krok \(6\).** Zbiór wszystkich liczb nie większych od \(1\) to przedział \((-\infty,1]\), domknięty od strony \(1\), bo nierówność jest nieostra. **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=0\) mamy \(3\geq-\frac12\) (prawda, \(0\) należy), a dla \(x=2\) mamy \(1\geq\frac92\) (fałsz, \(2\) nie należy) — kierunek przedziału się zgadza. **Uwaga.** Warto sprawdzić kierunek nierówności przez podstawienie jednej liczby, bo przy przenoszeniu wyrazów łatwo o pomyłkę i wybór odpowiedzi C. Liczba \(\frac76\) w odpowiedziach B i D pochodzi z błędnego pomnożenia tylko jednego składnika lewej strony przez \(2\). **Odpowiedź.** A: \((-\infty,1]\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** III.3) Zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.