Potęgi i pierwiastki
Zadanie 27, sierpień 2025, poziom podstawowy
Wykaż, że liczba \(8^{50}-2^{145}\) jest podzielna przez \(31\).
Odpowiedź
Mamy
\[8^{50}-2^{145}=(2^3)^{50}-2^{145}=2^{150}-2^{145}=2^{145}(2^5-1)=31\cdot2^{145}.\]
Liczba jest zatem podzielna przez \(31\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: przekształcenie \(8^{50}\) − \(2^{145}\) do \(2^{150}\) − \(2^{145}\).
**Krok \(2\).** pkt: poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie kończące dowód podzielności przez \(31\).
**Odpowiedź.** Mamy
\[8^{50}-2^{145}=(2^3)^{50}-2^{145}=2^{150}-2^{145}=2^{145}(2^5-1)=31\cdot2^{145}.\]
Liczba jest zatem podzielna przez \(31\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: przekształcenie 8⁵⁰ − 2¹⁴⁵ do 2¹⁵⁰ − 2¹⁴⁵.
2 pkt: poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie kończące dowód podzielności przez 31.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: V. Rozumowanie i argumentacja.
Wymaganie szczegółowe: 1.5) Wykorzystuje własności potęg; 1.4) stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych.
