Równania kwadratowe
Zadanie 34, sierpień 2023, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[\frac{2x-3}{3x-2}=\frac{1}{2x}.\]
Odpowiedź
\(x\in\left\{\frac14,2\right\}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie ma sens dla \(x\neq0\) i \(x\neq\frac23\). Mnożymy obie strony przez \(2x(3x-2)\):
\[(2x-3)\cdot2x=3x-2.\]
Stąd
\[4x^2-9x+2=0.\]
Wyróżnik jest równy \(\Delta=49\), więc
\[x_1=\frac{9-7}{8}=\frac14,\qquad x_2=\frac{9+7}{8}=2.\]
Obie wartości należą do dziedziny równania.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda rozwiązania równania wymiernego i wyniki \(x=\frac14\) oraz \(x=2\)
**1 pkt** – poprawne przekształcenie do równania kwadratowego, np. \((2x-3)\cdot2x=3x-2\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania. Brak zapisu zastrzeżeń \(x\neq0\), \(x\neq\frac23\) nie odbiera punktów przy poprawnym rozwiązaniu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych.
**Klasyfikacja rzeczowa:** równania i nierówności - rozwiązywanie równania wymiernego prowadzącego do równania kwadratowego.
