Równania i nierówności
Zadanie 30, sierpień 2021, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[\frac{x+8}{x-7}=2x.\]
Odpowiedź
\[x\in\left\{-\frac12,8\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie ma sens dla \(x\neq7\). Mnożymy obie strony przez \(x-7\):
\[x+8=2x(x-7).\]
Po uporządkowaniu otrzymujemy
\[2x^2-15x-8=0.\]
Wyróżnik jest równy
\[\Delta=(-15)^2-4\cdot2\cdot(-8)=289=17^2.\]
Stąd
\[x_1=\frac{15-17}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{15+17}{4}=8.\]
Oba pierwiastki należą do dziedziny, więc są rozwiązaniami równania.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne przekształcenie równania i otrzymanie obu rozwiązań: \(x=-\frac12\) oraz \(x=8\)
**1 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do postaci \(x+8=2x(x-7)\) lub równoważnego równania kwadratowego
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania. Brak zastrzeżenia \(x\neq7\) nie obniża punktacji, jeśli dalsze rozwiązanie jest poprawne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
3.7 rozwiązywanie prostych równań wymiernych prowadzących do równań kwadratowych.
