Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 31, sierpień 2021, poziom podstawowy
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) zachodzi nierówność
\[b(5b-4a)+a^2\geq0.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(a,b\in\mathbb R\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy lewą stronę nierówności:
\[b(5b-4a)+a^2=5b^2-4ab+a^2.\]
Wydzielamy sumę kwadratów:
\[5b^2-4ab+a^2=b^2+(2b-a)^2.\]
Dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) zachodzi \(b^2\geq0\) oraz \((2b-a)^2\geq0\), więc
\[b^2+(2b-a)^2\geq0.\]
To dowodzi podanej nierówności.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne rozumowanie: sprowadzenie wyrażenia do sumy kwadratów i uzasadnienie jej nieujemności dla wszystkich \(a,b\in\mathbb R\)
**1 pkt** – poprawne przekształcenie do postaci \(b^2+(2b-a)^2\geq0\) albo równoważne uzasadnienie za pomocą wyróżnika trójmianu
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów, sprawdzenie tylko wybranych wartości albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
przeprowadzanie prostego dowodu algebraicznego z wykorzystaniem własności kwadratu liczby rzeczywistej.
