Nierówności
Zadanie 6, sierpień 2019, poziom podstawowy
( x − \(2\) ) ( x + \(4\) )
Równanie \(= 0\) ma dokładnie
( x − \(4\) )\(2\)
A. jedno rozwiązanie: \(x = 2\).
B. jedno rozwiązanie: \(x = -2\).
C. dwa rozwiązania: \(x = 2, x = -4\).
D. dwa rozwiązania: \(x = -2, x = 4\).
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: Równanie
\[\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^{2}}=0\]
ma dokładnie
A. jedno rozwiązanie: \(x=2\).
B. jedno rozwiązanie: \(x=-2\).
C. dwa rozwiązania: \(x=2\), \(x=-4\).
D. dwa rozwiązania: \(x=-2\), \(x=4\).
licznik i mianownik ułamka trafiły do osobnych wierszy nad i pod wierszem „Równanie = 0 ma dokładnie”, a wykładnik \(2\) został w wierszu mianownika; liczba i kolejność tokenów w zapisie zastanym zgadza się z tym odczytem, a warianty odpowiedzi odwołują się do liczb 2, −2, 4, −4, czyli miejsc zerowych licznika i mianownikaOdpowiedź
**C.** dwa rozwiązania: \(x = 2, x = -4\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To równanie wymierne postaci
\[\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0.\]
Ułamek równa się zero dokładnie wtedy, gdy licznik jest zerem, a mianownik zerem nie jest. Zaczynamy zatem od dziedziny.
**Krok \(2\).** Dziedzina: \((x-4)^2\neq0\), czyli \(x-4\neq0\), a więc
\[x\neq4.\]
Wszystkie pozostałe liczby rzeczywiste są dozwolone.
**Krok \(3\).** Przyrównujemy licznik do zera. Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników:
\[(x-2)(x+4)=0\iff x=2\ \ \text{lub}\ \ x=-4.\]
**Krok \(4\).** Sprawdzamy, czy oba kandydaci należą do dziedziny: \(2\neq4\) oraz \(-4\neq4\) — żaden nie zeruje mianownika, więc oba pozostają.
**Krok \(5\).** Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=2\) i \(x=-4\).
**Krok \(6\).** Sprawdzenie dla \(x=-4\): licznik \((-4-2)(-4+4)=(-6)\cdot0=0\), mianownik \((-4-4)^2=64\neq0\), więc ułamek wynosi \(0\). Zgadza się.
**Uwaga.** Łatwo pomylić liczbę \(-4\) z liczbą \(4\) wykluczoną przez mianownik — dokładnie na tym opiera się odpowiedź D, w której znaki przy \(2\) i \(4\) są podmienione. Zwróćmy też uwagę, że mianownik jest kwadratem, więc z jednego nawiasu wypada tylko jedna zakazana wartość.
**Odpowiedź.** C: dwa rozwiązania \(x=2\) oraz \(x=-4\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 6.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
