Nierówności
Zadanie 32, sierpień 2014, poziom podstawowy
Miasta \(A\) i \(B\) są odległe o \(450\,\mathrm{km}\). Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o \(75\) minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o \(18\,\mathrm{km/h}\) mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości:
- prędkości, z jaką pani Danuta jechała z \(A\) do \(B\),
- prędkości, z jaką pani Lidia jechała z \(A\) do \(B\).
Odpowiedź
Danuta: \(72\) km/\(h\); Lidia: \(90\) km/\(h\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie o ruchu jednostajnym: droga jest ta sama, a porównujemy czasy i prędkości. Wszystko opiera się na wzorze \(t=\frac{s}{v}\). Wprowadzimy jedną niewiadomą — prędkość — i zapiszemy równanie wynikające z różnicy czasów.
**Krok \(2\).** Niech \(v\) oznacza średnią prędkość pani Lidii (w \(\mathrm{km/h}\)). Pani Danuta jechała o \(18\,\mathrm{km/h}\) wolniej, więc jej prędkość to \(v-18\). Z sensu zadania \(v\gt18\).
**Krok \(3\).** Czasy przejazdu tej samej trasy \(450\,\mathrm{km}\): pani Lidia jedzie \(\frac{450}{v}\) godzin, pani Danuta \(\frac{450}{v-18}\) godzin.
**Krok \(4\).** Zamieniamy \(75\) minut na godziny, bo prędkości są w kilometrach na godzinę:
\[75\ \text{min}=\frac{75}{60}\ \text{h}=\frac54\ \text{h}.\]
**Krok \(5\).** Danuta jechała dłużej, więc jej czas minus czas Lidii daje \(\frac54\):
\[\frac{450}{v-18}-\frac{450}{v}=\frac54.\]
**Krok \(6\).** Mnożymy obie strony przez \(4v(v-18)\) (jest to liczba dodatnia, bo \(v\gt18\)):
\[1800v-1800(v-18)=5v(v-18).\]
Po lewej stronie \(1800v-1800v+32400=32400\), więc
\[32400=5v^2-90v.\]
**Krok \(7\).** Dzielimy przez \(5\) i porządkujemy:
\[v^2-18v-6480=0.\]
**Krok \(8\).** Obliczamy wyróżnik:
\[\Delta=(-18)^2-4\cdot1\cdot(-6480)=324+25920=26244,\qquad \sqrt{\Delta}=162,\]
bo \(162^2=26244\). Stąd
\[v=\frac{18-162}{2}=-72\qquad\text{lub}\qquad v=\frac{18+162}{2}=90.\]
**Krok \(9\).** Prędkość nie może być ujemna, więc \(v=90\), a prędkość pani Danuty to \(90-18=72\).
**Krok \(10\).** Sprawdzenie: \(\frac{450}{90}=5\) h, \(\frac{450}{72}=6{,}25\) h, różnica \(1{,}25\) h \(=75\) minut. Zgadza się.
**Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze jednostki — \(75\) minut trzeba zamienić na \(\frac54\) godziny, inaczej równanie jest bezsensowne. Po drugie, ujemny pierwiastek równania kwadratowego trzeba wyraźnie odrzucić, powołując się na to, że prędkość jest dodatnia.
**Odpowiedź.** Pani Danuta jechała ze średnią prędkością \(72\,\mathrm{km/h}\), a pani Lidia \(90\,\mathrm{km/h}\).
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – zależności drogi, czasu i prędkości oraz rozwiązanie równania.
**5 pkt** – \(72\) km/h i \(90\) km/h.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 32. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
