Ostrosłupy
Zadanie 33, sierpień 2014, poziom podstawowy
Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \(22\), a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy
\[\frac{4\sqrt6}{5}.\]
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=\frac{3200\sqrt6}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy krawędź podstawy przez \(a\), wysokość ostrosłupa przez \(H\), a wysokość ściany bocznej przez \(h=22\).
Kąt \(\alpha\) nachylenia ściany bocznej do podstawy leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(H\) i \(\frac a2\) oraz przeciwprostokątnej \(h\). Z warunku \(\tan\alpha=\frac{4\sqrt6}5\) mamy
\[\cos\alpha=\frac{5}{\sqrt{5^{2}+\left(4\sqrt6\right)^{2}}}=\frac5{\sqrt{121}}=\frac5{11},\qquad \sin\alpha=\frac{4\sqrt6}{11}.\]
Stąd
\[\frac a2=h\cos\alpha=22\cdot\frac5{11}=10\ \Rightarrow\ a=20,\qquad H=h\sin\alpha=22\cdot\frac{4\sqrt6}{11}=8\sqrt6.\]
Objętość ostrosłupa:
\[V=\frac13a^{2}H=\frac13\cdot400\cdot8\sqrt6=\frac{3200\sqrt6}3.\]
**Odpowiedź.** \(V=\frac{3200\sqrt6}3\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – zależność z tangensa, krawędź podstawy \(20\) i wysokość \(8\sqrt{6}\).
**4 pkt** – \(V=\tfrac{3200\sqrt{6}}{3}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 33. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
