Nierówności
Zadanie 8, sierpień 2010, poziom podstawowy
Równanie
\[
\frac{x^2-4}{(x-4)(x+4)}=0
\]
**A.** nie ma rozwiązań.
**B.** ma dokładnie jedno rozwiązanie.
**C.** ma dokładnie dwa rozwiązania.
**D.** ma dokładnie cztery rozwiązania.
Odpowiedź
**C.** Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=-2\) oraz \(x=2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Niewiadoma stoi tu w mianowniku, więc mamy równanie wymierne. Ułamek jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik jest różny od zera. Rozwiązanie ma zatem dwie części: najpierw dziedzina, potem licznik.
**Krok \(2\).** Dziedzina. Mianownik nie może się zerować:
\[(x-4)(x+4)\ne0,\]
czyli \(x\ne4\) oraz \(x\ne-4\).
**Krok \(3\).** Przyrównujemy licznik do zera i rozkładamy go wzorem na różnicę kwadratów:
\[x^2-4=0,\qquad (x-2)(x+2)=0.\]
**Krok \(4\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem, więc
\[x=2\qquad\text{lub}\qquad x=-2.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy obie liczby należą do dziedziny. Ani \(2\), ani \(-2\) nie jest równe \(4\) ani \(-4\), więc obie są rozwiązaniami. Dla kontroli podstawmy \(x=2\):
\[\frac{2^2-4}{(2-4)(2+4)}=\frac{0}{-12}=0.\]
**Uwaga.** Łatwo tu pomylić licznik z mianownikiem: licznik to \(x^2-4\), a mianownik po wymnożeniu to \(x^2-16\). To dwa różne wyrażenia, więc ułamek nie skraca się do liczby stałej, a miejsca zerowe biorą się wyłącznie z licznika.
**Odpowiedź.** C: równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie wymierne z uwzględnieniem dziedziny.
