Nierówności
Zadanie 7, sierpień 2010, poziom podstawowy
Zbiorem rozwiązań nierówności \(x(x+5)>0\) jest
**A.** \(( -\infty,0)\cup(5,+\infty)\)
**B.** \(( -\infty,-5)\cup(0,+\infty)\)
**C.** \(( -\infty,-5)\cup(5,+\infty)\)
**D.** \((-5,+\infty)\)
Odpowiedź
**B.** \(( -\infty,-5)\cup(0,+\infty)\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Po lewej stronie stoi iloczyn dwóch czynników liniowych, a po prawej zero. To gotowa postać iloczynowa nierówności kwadratowej — nie wolno mnożyć nawiasów, tylko odczytujemy z nich miejsca zerowe i korzystamy z kształtu paraboli.
**Krok \(2\).** Miejsca zerowe lewej strony: iloczyn \(x(x+5)\) zeruje się, gdy \(x=0\) albo \(x+5=0\), czyli
\[x_1=-5,\qquad x_2=0.\]
**Krok \(3\).** Sprawdzamy kierunek ramion. Po wymnożeniu byłoby \(x^2+5x\), więc współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(a=1\gt0\) — ramiona paraboli skierowane są w górę.
**Krok \(4\).** Parabola o ramionach w górę leży ponad osią \(OX\) na zewnątrz swoich miejsc zerowych, a poniżej — pomiędzy nimi. Interesuje nas część dodatnia, więc
\[x\lt-5\quad\text{lub}\quad x\gt0.\]
**Krok \(5\).** Nierówność jest ostra (\(\gt\)), więc same miejsca zerowe \(-5\) i \(0\) odrzucamy — przedziały są otwarte:
\[x\in(-\infty,-5)\cup(0,+\infty).\]
**Krok \(6\).** Kontrola trzema liczbami, po jednej z każdego obszaru: dla \(x=-6\) mamy \((-6)\cdot(-1)=6\gt0\) (jest dobrze), dla \(x=-1\) mamy \((-1)\cdot4=-4\), czyli nie spełnia, dla \(x=1\) mamy \(1\cdot6=6\gt0\) (jest dobrze).
**Uwaga.** Miejsca zerowe czytamy z nawiasów ze zmienionym znakiem: z \(x+5\) wychodzi \(x=-5\), a nie \(x=5\). Odpowiedź C bierze się właśnie z tej pomyłki.
**Odpowiedź.** B: \((-\infty,-5)\cup(0,+\infty)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową w postaci iloczynowej.
