Nierówności
Zadanie 3, przykłady oceniania z informatora 2015, poziom mieszany
**Zadanie III.**
Wykaż, że jeżeli \(x>0\), to
\[x^2+\frac{16}{x}\geq12.\]
Odpowiedź
Dla każdego \(x>0\) zachodzi \(x^2+\frac{16}{x}\geq12\), przy czym równość występuje dla \(x=2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech
\[f(x)=x^2+\frac{16}{x},\qquad x\in(0,+\infty).\]
Pochodna ma postać
\[f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=\frac{2(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2}.\]
Dla \(x>0\) czynniki \(x^2\) i \(x^2+2x+4\) są dodatnie. Zatem \(f'(x)<0\) dla \(x\in(0,2)\), \(f'(2)=0\) i \(f'(x)>0\) dla \(x\in(2,+\infty)\). Funkcja maleje do punktu \(x=2\), a następnie rośnie, więc osiąga tam minimum. Ponieważ
\[f(2)=2^2+\frac{16}{2}=12,\]
to \(f(x)\geq12\) dla każdego \(x>0\).
Klucz i zasady oceniania
**Oficjalny schemat CKE dla sposobu z pierwszą pochodną:**
**1 pkt** – istotny postęp: określenie funkcji \(f(x)=x^2+\frac{16}{x}\) dla \(x>0\) i poprawne obliczenie pochodnej
**2 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności: wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej oraz przedziałów jej znaku
**3 pkt** – rozwiązanie pełne: uzasadnienie minimum w \(x=2\), obliczenie \(f(2)=12\) i zapisanie wniosku
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE nie przypisuje temu przykładowi osobnego numeru wymagania. Wymaganie ustalono na podstawie treści i rozwiązania: **równania i nierówności** oraz badanie najmniejszej wartości funkcji za pomocą pochodnej.
