Optymalizacja
Zadanie 4, przykłady oceniania z informatora 2015, poziom mieszany
**Zadanie IV.**
Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości \(80\,\text{cm}\) i szerokości \(50\,\text{cm}\). W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek). Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko bez przykrywki. Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.
Odpowiedź
Bok naroża ma długość \(10\,\text{cm}\), a największa objętość wynosi
\[18\,000\,\text{cm}^3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(x\) oznacza długość boku wycinanego kwadratu. Wymiary podstawy pudełka to \(80-2x\) i \(50-2x\), a wysokość wynosi \(x\). Zatem
\[V(x)=x(80-2x)(50-2x),\qquad 0<x<25.\]
Po rozwinięciu
\[V(x)=4x^3-260x^2+4000x,\]
więc
\[V'(x)=12x^2-520x+4000=4(3x^2-130x+1000).\]
Miejsca zerowe pochodnej spełniają
\[3x^2-130x+1000=0,\]
czyli
\[x_1=10,\qquad x_2=\frac{100}{3}.\]
Tylko \(x=10\) należy do dziedziny \((0,25)\). Pochodna jest dodatnia na \((0,10)\) i ujemna na \((10,25)\), więc dla \(x=10\) objętość jest największa. Wtedy
\[V(10)=10\cdot60\cdot30=18\,000\,\text{cm}^3.\]
Klucz i zasady oceniania
**Oficjalny schemat CKE (\(7\) pkt łącznie):**
**Etap 1 — \(3\) pkt:**
**2 pkt** – wybór zmiennej, wyznaczenie wymiarów podstawy i zapisanie \(V(x)=x(80-2x)(50-2x)\)
**1 pkt** – zapisanie poprawnej dziedziny \(0<x<25\)
**Etap 2 — \(3\) pkt:**
**1 pkt** – wyznaczenie poprawnej pochodnej
**1 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(10\) oraz \(\frac{100}{3}\)
**1 pkt** – uzasadnienie, że dla \(x=10\) objętość jest największa
**Etap 3 — \(1\) pkt:**
**1 pkt** – obliczenie największej objętości: \(18\,000\,\text{cm}^3\)
**Uwaga redakcyjna:** w wyciągu z informatora, na którym opiera się to opracowanie, kolumna z punktacją rozjechała się względem opisów czynności — część progów była pusta. Powyższy podział odtworzono z sum etapowych podanych w źródle (\(3+3+1=7\)) oraz z liczby i kolejności wymienionych tam czynności; nie pochodzi on z osobnej publikacji CKE.
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE nie przypisuje temu przykładowi osobnego numeru wymagania. Wymaganie ustalono na podstawie treści i rozwiązania: **optymalizacja**, modelowanie objętości prostopadłościanu oraz zastosowanie pochodnej do wyznaczenia maksimum.
