Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 2, przykłady oceniania z informatora 2015, poziom mieszany
**Zadanie II.**
Ile jest nieparzystych liczb naturalnych trzycyfrowych, w których co najmniej jedna cyfra jest dziewiątką?
Odpowiedź
\[162.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dzielimy liczby na trzy rozłączne grupy według położenia pierwszej cyfry \(9\).
\(1\). Pierwsza cyfra jest dziewiątką: cyfra dziesiątek ma \(10\) możliwości, a cyfra jedności \(5\) możliwości nieparzystych, więc jest \(10\cdot5=50\) liczb.
\(2\). Pierwsza dziewiątka stoi na miejscu dziesiątek: cyfra setek jest jedną z cyfr \(1,2,\ldots,8\), a cyfra jedności jest nieparzysta, więc jest \(8\cdot5=40\) liczb.
\(3\). Pierwsza dziewiątka stoi na miejscu jedności: cyfra setek ma \(8\) możliwości, a cyfra dziesiątek jest jedną z dziewięciu cyfr różnych od \(9\), więc jest \(8\cdot9=72\) liczb.
Łącznie
\[50+40+72=162.\]
Klucz i zasady oceniania
**Oficjalny schemat CKE dla sposobu „pierwsza dziewiątka”:**
**postęp niewielki: 1 pkt** – prawidłowe zdefiniowanie trzech rozłącznych grup
**istotny postęp: 2 pkt** – poprawne obliczenie liczebności co najmniej jednej grupy
**3 pkt** – poprawne obliczenie liczebności dwóch grup
**pokonanie zasadniczych trudności: 4 pkt** – poprawne obliczenie \(50\), \(40\) i \(72\)
**rozwiązanie pełne: 5 pkt** – obliczenie \(50+40+72=162\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE nie przypisuje temu przykładowi osobnego numeru wymagania. Wymaganie ustalono na podstawie treści i rozwiązania: **kombinatoryka**, reguła mnożenia i rozłączny podział przypadków.
