Równania i nierówności
Zadanie 30, próbna marzec 2021, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2.\]
Odpowiedź
\[x=-\frac13\quad\text{lub}\quad x=1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dziedzinę równania określa warunek \(x\neq\frac23\). Mnożymy obie strony przez \(3x-2\):
\[6x-1=(3x-2)(3x+2)=9x^2-4.\]
Po uporządkowaniu otrzymujemy
\[9x^2-6x-3=0,\qquad 3x^2-2x-1=0.\]
Rozkładamy lewą stronę na czynniki:
\[(3x+1)(x-1)=0.\]
Stąd \(x=-\frac13\) lub \(x=1\). Oba rozwiązania należą do dziedziny.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wyznaczenie obu rozwiązań: \(x=-\frac13\) i \(x=1\)
**1 pkt** – poprawne sprowadzenie równania do postaci \(3x^2-2x-1=0\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
3.7 rozwiązywanie równań wymiernych prowadzących do równań liniowych lub kwadratowych.
