Trójkąty
Zadanie 31, próbna marzec 2021, poziom podstawowy
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \(a\) i \(b\). Punkt \(O\), leżący na przeciwprostokątnej tego trójkąta, jest środkiem okręgu stycznego do obu przyprostokątnych (zobacz rysunek). Wykaż, że promień \(r\) tego okręgu jest równy
\[r=\frac{ab}{a+b}.\]
Odpowiedź
\[r=\frac{ab}{a+b}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy wierzchołek kąta prostego przez \(A\), a pozostałe wierzchołki przez \(B\) i \(C\), tak że \(|AB|=a\) i \(|AC|=b\). Ponieważ okrąg jest styczny do obu przyprostokątnych, odległość punktu \(O\) od każdej z nich jest równa \(r\). Punkt \(O\) leży na przeciwprostokątnej \(BC\), więc trójkąt \(ABC\) jest sumą trójkątów \(ABO\) i \(ACO\). Porównujemy pola:
\[\frac12ab=\frac12ar+\frac12br=\frac12(a+b)r.\]
Po pomnożeniu przez \(2\) i podzieleniu przez \(a+b\) otrzymujemy
\[r=\frac{ab}{a+b}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu i otrzymanie \(r=\frac{ab}{a+b}\)
**1 pkt** – zapisanie zależności pól \(P_{ABC}=P_{ABO}+P_{ACO}\) z wysokościami równymi \(r\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
7.2 wykorzystywanie własności stycznej do okręgu.
