Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
**Rozwiąż równanie**
\[\frac{x+3}{x-1}=\frac{x}{2x-2}.\]
**Zapisz konieczne założenie i obliczenia.**
Odpowiedź
\[x=-6.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw zapisujemy konieczne założenie:
\[x-1\neq0\quad\text{oraz}\quad2x-2\neq0,\]
czyli
\[x\neq1.\]
Ponieważ \(2x-2=2(x-1)\), mnożymy obie strony równania przez \(2(x-1)\):
\[2(x+3)=x.\]
Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe:
\[2x+6=x,\qquad x=-6.\]
Liczba \(-6\) spełnia założenie, więc jest rozwiązaniem danego równania.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody, zapisanie założenia \(x
\neq1\) oraz poprawny wynik \(x=-6\)
**2 pkt** – przekształcenie równania do równania liniowego \(2(x+3)=x\) i rozwiązanie go; albo wykonanie tego przekształcenia i zapisanie założenia \(x
\neq1\); albo poprawne rozwiązanie równania kwadratowego otrzymanego po mnożeniu stronami i zapisanie założenia
**1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(2(x+3)=x\); albo do równoważnego równania kwadratowego; albo zapisanie założenia \(x
\neq1\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.1) Zdający przekształca równania i nierówności w sposób równoważny.
III.4) Zdający rozwiązuje równania kwadratowe. SP
VI.3) Zdający rozwiązuje równania, które po prostych przekształceniach wyrażeń algebraicznych sprowadzają się do równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
