Nierówności
Zadanie 8, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
**Rozwiąż nierówność**
\[\frac{x-1}{x^2-4}-\frac1{2-x}\geq\frac3{2+x}+2.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x\in[-3,-2)\cup\left(2,\frac52\right].\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dziedzinę określają warunki \(x\neq-2\) i \(x\neq2\). Przekształcamy nierówność do wspólnego mianownika:
\[\frac{x-1}{(x-2)(x+2)}+\frac1{x-2}\geq\frac3{x+2}+2,\]
\[\frac{-2x^2-x+15}{(x-2)(x+2)}\geq0.\]
Rozkładamy licznik na czynniki:
\[\frac{-2\left(x-\frac52\right)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\geq0.\]
Punkty krytyczne to \(-3,-2,2,\frac52\). Analiza znaków, z uwzględnieniem wyłączeń z dziedziny, daje
\[x\in[-3,-2)\cup\left(2,\frac52\right].\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \([-3,-2)\cup(2,\frac52]\)
**4 pkt** – dziedzina oraz poprawna postać iloczynowa ułamka albo rozwiązanie odpowiadającej nierówności wielomianowej
**3 pkt** – dziedzina i postać \(\frac{-2x^2-x+15}{(x-2)(x+2)}\geq0\) albo poprawna postać iloczynowa
**2 pkt** – dziedzina i poprawne sprowadzenie do wspólnego mianownika
**1 pkt** – wyznaczenie dziedziny \(\mathbb R\setminus\{-2,2\}\) albo poprawne pierwsze przekształcenie ułamków
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji oraz operowanie obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
III.R2 rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych.
