Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 9, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie**
\[x^2-(m-4)x+m^2-7m+12=0\]
**ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunek**
\[x_1^3+x_2^3<5x_1^2x_2+5x_1x_2^2.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[m\in\left(\frac{20}{7},4\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni:
\[\Delta=(m-4)^2-4(m^2-7m+12)=-3m^2+20m-32>0.\]
Ponieważ
\[-3m^2+20m-32=-3(m-4)\left(m-\frac83\right),\]
otrzymujemy \(m\in(\frac83,4)\). Z warunku zadania:
\[x_1^3+x_2^3<5x_1x_2(x_1+x_2).\]
Korzystamy z tożsamości \(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]\) oraz ze wzorów Viète'a:
\[x_1+x_2=m-4,\qquad x_1x_2=m^2-7m+12.\]
Dostajemy
\[(m-4)[(m-4)^2-3(m^2-7m+12)]<5(m^2-7m+12)(m-4),\]
\[-7(m-4)^2\left(m-\frac{20}{7}\right)<0.\]
Stąd \(m\in(\frac{20}{7},4)\cup(4,+\infty)\). Część wspólna z warunkiem \(\Delta>0\) jest równa
\[m\in\left(\frac{20}{7},4\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \(m\in(\frac{20}{7},4)\)
**4 pkt** – rozwiązanie warunku \(\Delta>0\) oraz otrzymanie końcowej nierówności z parametrem lub osobne rozwiązanie warunku wynikającego z nierówności pierwiastków
**3 pkt** – rozwiązanie \(\Delta>0\) i zapisanie nierówności po zastosowaniu wzorów Viète'a albo poprawne sprowadzenie jej do postaci iloczynowej
**2 pkt** – rozwiązanie \(\Delta>0\) oraz przekształcenie warunku do postaci umożliwiającej użycie wzorów Viète'a
**1 pkt** – poprawne rozwiązanie \(\Delta>0\) albo właściwe przekształcenie sumy sześcianów
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. dobieranie i tworzenie modeli matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.R3 i III.R5 stosowanie wzorów Viète'a oraz analiza równań kwadratowych z parametrem i własnościami rozwiązań.
