Liczby rzeczywiste
Zadanie 7, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej \(480\) litrów i nie może przekroczyć \(530\) litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji \((480+x)\) litrów dziennie przeciętny koszt \(K\) (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy
\[K(x)=\frac{22x^2-621{,}5x+23\,430}{480+x},\qquad x\in[0,50].\]
**Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
Olejarnia powinna produkować \(495\) litrów dziennie, a najmniejszy przeciętny koszt wynosi \(38{,}50\) zł za litr.
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy pochodną funkcji \(K\):
\[K'(x)=\frac{(44x-621{,}5)(480+x)-(22x^2-621{,}5x+23\,430)}{(480+x)^2}.\]
Po uproszczeniu licznika warunek \(K'(x)=0\) prowadzi do równania
\[x^2+960x-14\,625=0,\]
którego pierwiastki to \(-975\) i \(15\). W dziedzinie \([0,50]\) leży tylko \(x=15\). Pochodna jest ujemna na \([0,15)\) i dodatnia na \((15,50]\), więc funkcja osiąga minimum dla \(x=15\). Odpowiada to produkcji
\[480+15=495\]
litrów dziennie. Najmniejszy koszt wynosi
\[K(15)=\frac{22\cdot15^2-621{,}5\cdot15+23\,430}{495}=38{,}50\ \text{zł}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – wyznaczenie produkcji \(495\) litrów i kosztu \(38{,}50\) zł
**3 pkt** – zbadanie znaku pochodnej i uzasadnienie minimum dla \(x=15\)
**2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej \(x=15\) należącego do dziedziny
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie pochodnej funkcji \(K\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I i IV sprawność rachunkowa oraz dobieranie argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.R3 i XIII.R5 obliczanie pochodnej ilorazu oraz rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.
