Zadanie 4 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

**A.** \(\displaystyle -\frac{1}{2025}\)

**Krok \(1\).** Dane i szukana mają różne podstawy logarytmu: dane jest \(\log_{x\cdot y}x\), a pytamy o \(\log_{y}(x\cdot y)\). Naturalny plan: wszystko wyrazić w jednej podstawie. Najwygodniejsza jest podstawa \(x\cdot y\), bo w niej mamy daną liczbę. **Krok \(2\).** Punkt wyjścia to oczywista równość \(\log_{x\cdot y}(x\cdot y)=1\) oraz wzór na logarytm iloczynu: \[\log_{x\cdot y}x+\log_{x\cdot y}y=\log_{x\cdot y}(x\cdot y)=1.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy daną \(\log_{x\cdot y}x=2026\) i wyliczamy drugi składnik: \[\log_{x\cdot y}y=1-2026=-2025.\] **Krok \(4\).** Zamieniamy podstawę logarytmu, korzystając z zależności \[\log_{b}a=\frac{1}{\log_{a}b},\] prawdziwej, gdy obie podstawy są dodatnie, różne od \(1\), a logarytm w mianowniku nie jest zerem. **Krok \(5\).** Stosujemy tę zależność dla \(a=x\cdot y\) i \(b=y\): \[\log_{y}(x\cdot y)=\frac{1}{\log_{x\cdot y}y}=\frac{1}{-2025}=-\frac{1}{2025}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzenie na konkretnych liczbach. Weźmy \(x\cdot y=t\) (dowolne \(t\gt 0\), \(t\neq 1\)). Z warunku \(\log_{t}x=2026\) mamy \(x=t^{2026}\), a stąd \(y=\frac{t}{x}=t^{-2025}\). Wtedy \[\log_{y}(x\cdot y)=\log_{t^{-2025}}t=-\frac{1}{2025},\] bo \(\left(t^{-2025}\right)^{-\frac{1}{2025}}=t\). **Uwaga.** Założenia z treści nie są ozdobnikiem: warunki \(x\gt 0\), \(y\gt 0\), \(x\cdot y\neq 1\) i \(y\neq 1\) gwarantują, że obie podstawy logarytmów są dopuszczalne, a dodatkowo \(\log_{x\cdot y}y=-2025\neq 0\), więc dzielenie w kroku \(5\) jest wykonalne. **Odpowiedź.** A. \(-\frac{1}{2025}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. **Wymagania szczegółowe:** 1.2R) Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.