Nierówności
Zadanie 7, maj 2021, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność
\[\frac{2x-1}{1-x}\leq\frac{2+2x}{5x}.\]
Odpowiedź
\[x\in\left(-\infty,-\frac14\right]\cup\left(0,\frac23\right]\cup(1,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Dziedzina wyrażenia wymaga \(x\neq0\) i \(x\neq1\). Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\[\frac{2x-1}{1-x}-\frac{2+2x}{5x}\leq0,\]
\[\frac{5x(2x-1)-(2+2x)(1-x)}{5x(1-x)}\leq0,\]
\[\frac{12x^2-5x-2}{5x(1-x)}\leq0.\]
Licznik rozkłada się na czynniki:
\[12x^2-5x-2=12\left(x-\frac23\right)\left(x+\frac14\right).\]
Punkty krytyczne to \(-\frac14\), \(0\), \(\frac23\), \(1\). Analiza znaków daje
\[x\in\left(-\infty,-\frac14\right]\cup\left(0,\frac23\right]\cup(1,+\infty).\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i pełny zbiór rozwiązań
**2 pkt** – doprowadzenie nierówności do postaci iloczynowej i poprawne wyznaczenie punktów krytycznych albo poprawne rozwiązanie odpowiednich przypadków
**1 pkt** – sprowadzenie do nierówności \(\frac{12x^2-5x-2}{5x(1-x)}\leq0\) lub równoważnego zapisu
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo nieuprawnione mnożenie przez mianowniki bez analizy ich znaku
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R3.7 rozwiązywanie nierówności wymiernych z uwzględnieniem dziedziny i znaków czynników.
